La bella teoria

La medida natural de las cosas

2009-11-18T07:58:00.007+01:00

La relación que tratamos de establecer entre dos cantidades puede ser engañosa. En ocasiones los valores más lógicos de las mismas nos alejan de la realidad y del fenómeno que tratamos de estudiar. El sentido común nos puede dar una aproximación del resultado capaz de guiarnos para encontrar la solución correcta, la que se amolda de verdad a la realidad.

Supongamos que queremos relacionar dos cantidades que se corresponden con una realidad palpable, por ejemplo dos longitudes de un determinado objeto, y nos dan las siguientes medidas: 2 y 1/2, 3 y 1/3, 4 y 1/4, ... n y 1/n. Siendo n un número natural. La división entre ellas no nos ofrece ningún conflicto, será 4, 9, 16, ... n², nos está dando la cantidad de veces que una cantidad es mayor que otra. Sin embargo hay relaciones que pueden dar equívocos si nos dejamos guiar por el resultado puramente matemático. Por ejemplo, si nos fijamos en la figura que representa el fractal clásico llamado copo de Koch y su construcción, vemos que en cada iteración sustituimos un segmento de 3 unidades por cuatro segmentos de una unidad: justamente la relación entre log 4/ log 3 nos da la dimensión fractal de la figura, que es 1.261859… Si lo que queremos relacionar son las dos longitudes representadas por cualquier número natural N y su inverso 1/N, al hallar la relación similar a la anterior, del copo de Koch, nos encontramos con un valor negativo, -1, una dimensión negativa para un fractal, cuando físicamente no tiene ningún sentido, pues la dimensión fractal siempre es igual a la topológica (o dimensión aparente) más un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más irregular es el fractal.

Matemático y lógico, Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy conocida entre los matemáticos: "Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre" (Eric Temple Bell 1986, p.477. Men of Mathematics ).

Esa es la cuestión, en nuestro caso debemos convertir 1/N y N en dos nuevos números naturales que al relacionarnos, para expresar el valor que representa la dimensión del objeto, nos de un resultado coherente con la realidad que estamos observando. Las figuras que siguen a este párrafo nos aclaran el camino a tomar para encontrar una posible solución, para este caso particular.

Vemos la construcción de una figura cuando N=3, N=4 y N=5. En la primera figura si damos el valor 3 al lado, su perímetro será 27 (3³), pero si le damos el valor 1/3, su nuevo perímetro será 3. Así ocurre para N=4 ó N=1/4 , etc, y en general para cualquier valor N y 1/N (con N finito, aunque tan grande como queramos). Siempre ocurrirá que si el lado es N el perímetro será N³ y si el lado es 1/N el perímetro será N, sin que para ello varíe la forma de la figura.

La conversión natural será la que transforma la pareja de medidas (1/N, N) en (N, N³) y el valor irregular, -1, que encontrábamos para la dimensión fractal de la curva se convertiría en 3. Este valor le daría a la curva la capacidad de llenar el espacio. Es un fractal con dimensión entera, de forma similar al caso de un movimiento aleatorio puro, que de cada N² pasos realizado sólo se aleja N, de cualquier punto arbitrario de referencia que consideremos, y por tanto tiene una dimensión fractal igual a 2, capaz de llenar el plano.

En realidad, para nuestro caso (1/N, N), existen infinitas conversiones, responden a la expresión :

Dim. fractal (*)= 1 + 2/logL(N) , siendo L(N) el valor del lado que consideremos, como función de N. Para L(N)= 1/N tenemos el valor -1, para L(N)=N, le corresponde el valor 3, como hemos dicho. Para valores de exponente natural más negativos (1/N²) y mayores la dimensión se acerca asintóticamente a l. Para valores mayores de N, como N², N³, o de mucho mayor exponente el valor asintótico será también 1.

Al final no podemos confiar ciegamente en el valor que nos dan las matemáticas, pues el mundo que representan es mucho más amplio que el mundo real y siempre necesitaremos de nuestro sentido común, en el análisis de los resultados encontrados. Por otra parte, paradójicamente, en ocasiones ocurre lo contrario: el sentido común nos ciega y nos impide ver una realidad más profunda que subyace en los resultados matemáticos.

(*)Tomando logaritmos en base N

Dualidad T, (1/N,N)

Como simple curiosidad, sobre el intercambio de valores 1/N y N, y como culturilla sobre teoría de cuerdas, todo esto puede recordarnos la llamada Dualidad-T:

En la expresión que representa los cuadrados de las energías de las excitaciones de una cuerda en un espacio con una dimensión curvada o compactada, K. Kikkawa y M. Yamanaka en 1984, observaron que la fórmula sigue teniendo el mismo aspecto si hacemos el intercambio R <--> 1/R. Siendo R el radio microscópico de la dimensión que se curva.

Desde un punto de vista físico esto indica que las energías de las excitaciones de una cuerda, cuando hay una dimensión extra de radio R, es la misma que la de una cuerda cuando el radio es 1/R. No ya las energías, sino todas las propiedades físicas de ambos sistemas son exactamente las mismas. Llama la atención, pues cuando R aumenta 1/R decrece, contradiciendo la experiencia de la vida diaria, que nos dice que las cosas pequeñas difieren de las grandes. Para una cuerda ello no es así.

Sobre "Unificación y dualidad en teoría de cuerdas", ver el número de agosto de 1998 de Investigación y Ciencia, de Luis E. Ibáñez Santiago.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis

2009-11-05T12:46:00.007+01:00

Los fractales esconden bajo sus “arrugas” parte de sí mismos. Suponiendo la hipótesis de un vacío cuántico fractal, la escurridiza energía oscura podría ser la consecuencia de la estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío que conforman todo el espacio.

La medida de la costa de Bretaña
Benoït Mandelbrot se preguntaba cuánto medía la costa de Bretaña, o cualquier costa real que suele ser irregular e intrincada. Un geógrafo se lo habría respondido perfectamente, pero no era esa la repuesta que buscaba Mandelbrot. El geógrafo da por sentado que al medir la costa tiene que hacerlo con unos criterios prácticos determinados, se atiene a ellos, la mide y la registra para siempre en los libros de geografía.

Para Mandelbrot, la pregunta era mucho más transcendente de lo que puede parecer a simple vista, porque se dio cuenta de que la medida dependía de la unidad de medida con la que fuera a efectuarse. Si la mínima unidad de medida a tomar fuera un kilómetro hallaríamos un valor, y si esa mínima unidad fuera el doble encontraríamos un resultado menor. Conforme la unidad utilizada es menor, al efectuar la medida nos acercamos mejor a las irregularidades del terreno y hallamos un valor mayor. Para una costa matemática teórica, de hecho, la unidad de medida la podemos hacer tender a cero tanto como queramos y el resultado obtenido siempre será mayor. En el límite la longitud de cualquier costa teórica es infinita.

Dimensión fraccionaria de una costa
Las costas son ejemplos sencillos de unos objetos matemáticos que Benoït Mandelbrot llamó fractales, porque su estructura es discontinua, rota o fracturada (del latín “fractus”) y mantienen el mismo aspecto a diferentes escalas. A diferencia de los objetos geométricos continuos que conocemos como líneas o planos, los fractales son capaces de “llenar” más espacio del que deberían llenar. Las costas fractales, como líneas que son, deberían tener la capacidad de llenar una dimensión, pero realmente llenan 1.25, 1.30, 1.35… etc. Su dimensión, que es fraccionaria, está entre la línea y el plano, es decir entre 1 y 2, y conforme son más irregulares mayor es su dimensión, a la que llamamos dimensión fractal.

Vacío clásico y vacío cuántico
El vacío clásico y continuo es, en cierta forma, como una costa lineal y regular, sin entrantes ni salientes. El vacío cuántico es muy diferente, sus fluctuaciones le confieren una estructura irregular que nos puede recordar la estructura fractal de las costas de los países. De “lejos” no es diferente del vacío clásico, pero de “cerca” nos ofrece una visión muy diferente, las fluctuaciones ganan protagonismo porque dependen del inverso de la distancia: a distancia mitad son el doble de intensas. Esta diferencia entre el vacío clásico y el cuántico se puede observar, perfectamente, tratando de seguir las trayectorias de las partículas subatómicas. En el vacío clásico estas están bien definidas y son líneas continuas, en el vacío cuántico no existen como tales, no son propiamente trayectorias pues conforme las tratamos de observar con más detalle, más irregulares aparecen. Son fractales con una dimensión 2.

¿Vacío cuántico como un fractal?
Todo esto hace pensar en la posibilidad de considerar el vacío cuántico como una fractal, en el que la energía de las fluctuaciones cuánticas determinaría su grado de irregularidad, y en base a su valor (un escalar) se podría calcular la dimensión fractal de estas fluctuaciones que conforman todo el espacio.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis
Entre dos puntos A y B del espacio euclídeo se puede trazar una recta. La distancia entre los dos puntos siguiendo esta recta es la longitud de la misma. Sin embargo si esa recta la convertimos en una costa fractal real (sin las infinitas irregularidades de una costa fractal matemática), la distancia entre los dos puntos, siguiendo la costa, se puede hacer todo lo grande que se desee dependiendo de la cantidad de irregularidades de la misma.

Si observamos esta línea costera en la distancia, las irregularidades se disimulan y su aspecto se acerca al de una línea mucho más regular. Su distancia aparente también estará cercana a la de la línea recta AB. Sabremos la distancia real AB a través de la costa fractal y la distancia aparente, vista la costa desde lejos. En cierta forma parece que ha desaparecido una parte de la costa, una parte que desde lejos no logramos observar, porque queda escondida entre las irregularidades del fractal.

Si suponemos la hipótesis fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío, ¿la parte escondida por este inmenso fractal podría ser la llamada energía oscura?

En la figura:(representación del vacío
cuántico), los trazos más anchos se corresponden con fermiones (quarks, electrones...) y sus antipartículas, mientras que los trazos más finos corresponden a bosones (gluones, fotones, W+, W-, Z0,...). En lo concerniente al color de los quarks y gluones, se corresponden con la carga de color de los mismos mientras que las partículas insensibles a la interacción fuerte aparecen en blanco o gris.)

Lo que sabemos hasta ahora de la energía oscura
La naturaleza exacta de la energía oscura es una materia de especulación. Se conoce que es muy homogénea, no muy densa y no se conoce la interacción con ninguna de las fuerzas fundamentales más que la gravedad. Como no es muy densa, unos 10−29 g/cm³, es difícil de imaginar experimentos para detectarla en laboratorio. La energía oscura sólo puede tener un profundo impacto en el Universo, ocupando el 70% de toda la energía, debido a que por el contrario llena uniformemente el espacio vacío.

Dos posibles formas de la energía oscura son la constante cosmológica, una densidad de energía constante que llena el espacio en forma homogénea y campos escalares como la quintaesencia: campos dinámicos cuya densidad de energía puede variar en el tiempo y el espacio. De hecho, las contribuciones de los campos escalares que son constantes en el espacio normalmente también se incluyen en la constante cosmológica. Se piensa que la constante cosmológica se origina en la energía del vacío. Los campos escalares que cambian con el espacio son difíciles de distinguir de una constante cosmológica porque los cambios pueden ser extremadamente lentos.
Para distinguir entre ambas se necesitan mediciones muy precisas de la expansión del Universo, para ver si la velocidad de expansión cambia con el tiempo. La tasa de expansión está parametrizada por la ecuación de estado. La medición de la ecuación estado de la energía oscura es uno de los mayores retos de investigación actual de la cosmología física.

Algo más sobre fractales, su dependencia espacial

2009-10-08T13:51:00.009+02:00

La dimensión de un fractal está íntimamente relacionada con la manera en que éste se extiende por el espacio. Su dimensión nos da la capacidad del fractal de recubrir un espacio de dimensión topológica superior a la suya, de hecho, una trayectoria fractal de dimensión 2 es capaz de recubrir el plano, y de dimensión 3 el espacio tridimensional.

Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose aleatoriamente, con total libertad, y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, palabra que inventó a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado).

Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad. La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).

Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).

En una trayectoria espacial fractal:

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión fractal)}

Siendo la dimensión fractal igual a la dimensión topológica más un coeficiente dimensional positivo, tanto mayor cuanto más intrincado sea el fractal, la expresión (1) quedaría:

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión topol. + coef. dimensional)}

¿Puede la geometría del espacio modificar la dimensión fractal?. Imaginemos una trayectoria fractal que pasa desde un espacio de 3 dimensiones a otro de 2. En la realidad podría ser el paso gradual de una tubería de 10 cm. x 10 cm. a otra de 0,1 cm. x 1000 cm., del mismo caudal. Para, depende que movimiento, el paso podría suponer cambiar, prácticamente, de 3 a 2 dimensiones. En la nueva situación la dimensión topológica habría descendido en una unidad, por lo que para el mismo coeficiente dimensional (que depende de la irregularidad del fractal), la nueva dimensión fractal sería menor. La disminución de dimensiones topológicas actúa de forma opuesta (restando) a como actúa el coeficiente dimensional (sumando). Al final obtendríamos, en la práctica, un movimiento menos irregular e intrincado.

Y sobre todo esto, en plan un tanto informal, añado un articulito que se publicó en la web de la Real Sociedad Española de Física, en el foro de debate sobre Física Divertida . Pocos meses antes se había publicado en la revista ImasD de ciencia y tecnología (revista en papel, posteriormente electrónica y hoy desaparecida: www.ImasD-tecnología.com).Otro articulo posterior, también muy sencillo, publicado por la Revista Elementos, de la Universidad Autónoma de Puebla: El sorprendente vacío cuántico.

El diablo Aleaxis y el efecto de ocultación de masa.

Aleaxis es un simpático e inconsciente diablillo que no para de dar pasos, a tontas y a locas de forma aleatoria, en cualquier dirección del plano. Su trayectoria es discontinua, puede ser representada por una línea quebrada que acabaría recubriendo todo el plano. En su torpeza, para recorrer una distancia efectiva de “n” pasos debe dar como media n x n , es decir n² pasos: su trayectoria, en realidad, representa un fractal, una estructura quebrada y discontinua de dimensión 2, la dimensión fractal que caracteriza al azar puro.

De forma similar, las fluctuaciones de energía del vacío (principio de incertidumbre) representan a otro diablo, esta vez real y poderoso, que hace mucho más interesante nuestro universo. Sin él el vacío estaría vacío, además de parecerlo, sería plano y estaría absolutamente quieto. Este diablo, un tanto escurridizo y nada torpe, arruga el espacio-tiempo y lo convierte en un fractal similar a la trayectoria de Aleaxis. Esta vez, para que nosotros observemos “n pasos” de fluctuación efectiva de energía, el diablo “da“ n x n x n pasos, es decir n³ .

Observando, solamente, los pasos efectivos de Aleaxis y sabiendo que su trayectoria es un fractal podemos inferir que existe un “efecto de ocultación de pasos”. De la misma forma, al observar las fluctuaciones efectivas de energía del vacío (son las únicas que podemos observar) deducimos que hay un poderoso “efecto de ocultación de energía “ (o masa, por el principio de equivalencia entre masa y energía).

El poderoso diablo de las fluctuaciones, además de arrugar el espacio-tiempo, enrolla parte de sus dimensiones para acentuar el “efecto de ocultación”. Si sólo se limitara a arrugarlo las fluctuaciones de la energía interferirían lo suficiente para no dejarnos ver el vacío como tal (al no depender del inverso de la distancia sino de su raiz cúbica). En la realidad dependen del inverso de la distancia: a grandes distancias su valor es despreciable, a pequeñas distancias es impresionantemente grande, contribuyendo a la impresión de un paradójico vacío “superdenso”. El diablo actúa como un verdadero mago: esconde ingentes cantidades de masa, detrás de sus arrugas enrolladas, hasta que hace “aparecer” el vacío. Sólo al acercarnos, “en las pequeñas distancias “, advertimos su truco.

¿Mecánica cuántica fractal?

2009-09-07T12:42:00.007+02:00

Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Creo que hay argumentos objetivos para considerar una mecánica cuántica fractal, es decir una mecánica cuántica bajo el punto de vista de la geometría fractal, pero en ciencia existen unas tendencias o modas de las que es difícil desviarse, aunque sea para dar un corto paseo. Ese puede ser uno de los problemas por los que se encuentra estancada la física actual.

Y no es una reflexión mía, lo dicen algunos de los mejores físicos de la actualidad, se nos está escapando algo que debemos tenerlo delante de nuestras narices y no somos capaces de verlo. Sinceramente, creo que los fractales pueden ayudarnos a encontrarlo.

Con los fractales, en cierta manera, deshacemos la abstracción que nos lleva a pasar de un objeto real a objetos geométricos ideales como una línea, un cubo o una esfera, y nos acercamos un poco más a dicho objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de algo real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Al respecto es importante repasar el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990. En ella describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Curiosamente, si buscamos en google "mecánica cuántica fractal" o bien en inglés "Fractal quantum mechanics", practicamente no encontramos nada. En español he encontrado este estupendo enlace a Ciencia Kanija. En mi entrada sobre "Diez dimensiones, supercuerdas y fractales"(*), podéis leer algo más sobre todo esto. Un saludo amigos.

(*)La Universidad de Chile, en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 compactadas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción

Sobre lo clásico y lo cuántico

2009-08-04T18:54:00.006+02:00

En la vida como en el mundo del conocimiento necesitamos un grado mínimo de estabilidad y certeza. Esa tendencia natural ha llevado a tratar de perpetuar lo establecido tanto en las costumbres como en el saber, pero, nos guste o no, el propio cambio es inherente en el proceso de la vida y en el del conocimiento. En el post sobre la geometría clásica euclidiana se comentaba esa resistencia al cambio que llevó a la Iglesia a considerar el saber clásico como saber divino tendiendo, por ello, a perpetuarlo como inmutable. Al final del siglo XIX los físicos se encontraban muy satisfechos con los importantes avances conseguidos hasta entonces, y muchos de ellos creían que se había llegado a una especie de final definitivo del conocimiento físico del mundo. Sin embargo, en apenas cinco años cambió todo con la teoría de la relatividad y el nacimiento de la mecánica cuántica.

Desde las certezas que parecía darnos la mecánica clásica de Newton sobre la posición, trayectoria y velocidad de cualquier partícula microscópica o cuerpo celeste se nos echaba en brazos de la indeterminación cuántica. Ya no podía conocerse simultáneamente la posición y la velocidad de una partícula con la infinita exactitud que se suponía, y el principio de indeterminación de Heisenberg parecía habernos desterrado del paraíso de las certidumbres clásicas. Pero ese paraíso nunca existió en realidad, desde un punto de vista puramente clásico se puede demostrar que la predictibilidad que se suponía a los sistemas clásicos nunca fue esencialmente cierta. Independientemente de la precisión con que conozcamos el estado inicial de un sistema clásico (no cuántico) las imprecisiones tienden a crecer, de forma natural, con el tiempo y nuestra información inicial puede llegar a ser inútil para predecir su evolución futura. La mecánica clásica no es tan predecible como podría parecer a primera vista. Esta impredecibilidad se advierte claramente en el llamado problema de los tres cuerpos y se acentúa de forma dramática en los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales (caóticos).

La estabilidad y cohesión que advertimos en la materia es resultado directo de fenómenos cuánticos, no podría conseguirse con las leyes de la mecánica clásica, que funcionan bien con la simplificación que supone tratar cuerpos compuestos por millones de partículas como si fueran puntuales. Esto es consecuencia de una propiedad esencial de los sistemas clásicos puesta de manifiesto por un hermoso teorema debido al matemático francés Joseph Liouville . El aparentemente simple equilibrio que se mantiene en un átomo entre los electrones y el núcleo sólo la mecánica cuántica es capaz de explicarlo, para la mecánica clásica el resultado sería catastrófico pues sus leyes lo impedirían.

La indeterminación cuántica y el sorprendente vacío cuántico, animado por un frenético baile de fluctuaciones y partículas virtuales, pueden explicarnos desde el propio nacimiento de todo el inmenso Universo a partir de la nada a los mecanismos básicos de la consciencia. Cuando pienso en el paso del viejo mundo de la mecánica clásica al nuevo de la mecánica cuántica, me viene a la memoria el cuento de la princesa desterrada del mundo de las hadas que apareció en el mundo real. Le costó entenderlo, pero cuando lo hizo se dio cuenta de que las simplezas de su viejo mundo eran completamente irreales y ya no podían llenar su vida.

El mundo de la imaginación, de los cuentos y las hadas, surge de las idealizaciones de nuestro mundo real. De forma parecida podría emerger lo clásico desde la realidad cuántica, una realidad directamente incomprensible para el sentido común que debe convertirse en clásica para que nuestra vida tenga sentido. El proceso es todavía desconocido, es una especie de paso mágico desde la coherencia cuántica, no local e indiferenciada, a la concreción que advierten nuestros sentidos. El desarrollo de la mecánica cuántica cuyo futuro está irremediablemente unido al de la relatividad general promete mostrarnos una realidad todavía más sorprendente.

He recuperado este post de mi colaboración con Libro de Notas, mis agradecimientos a Microsiervos que tuvieron el detalle de reseñarlo en su día. Estoy disfrutando unos días de vacaciones en la bella costa de Málaga, así que perdonad si no contesto muy rápido los comentarios. Unas felices vacaciones amigos.

¿El tiempo o la memoria?

2009-07-20T13:48:00.010+02:00

¿Es posible que el tiempo sea un espejismo que crea nuestra memoria? Si la realidad fuera una sucesión de AHORAS que sólo podemos enlazar con nuestra memoria, el tiempo en sí no existiría. Esa es la teoría del físico inglés Julian Barbour, que junto con otros físicos de primer orden como Carlo Rovelli creen que el tiempo no es una magnitud fundamental, en línea con la creencia de grandes físicos como Wheeler y De Witt que hallaron la expresión, que lleva su nombre, en la cual no aparece el tiempo como variable explícita.

En un reciente post (2009/05/06) hablaba de la inquietud que me habían producido las reflexiones del eminente físico Lee Smolin sobre el tiempo. Así llevo un tiempo, y acabo de descubrir a través del estupendo blog Con-Ciencia una interesantísima conversación sobre el tiempo con el físico inglés Julian Barbour. Su idea básica es que el tiempo como tal no existe. No existe un río invisible del tiempo, independientemente de los sucesos que ocurren en él. Pero hay cosas que podríamos llamar instantes de tiempo, o "Ahoras" y nos movemos a través de esos "Ahoras". La pregunta es, ¿cuáles son esos ahoras?Según Barbour, son arreglos de cada cosa que existe en el universo respecto al resto de él en cualquier momento, por ejemplo, ahora.

Barbour mantiene la idea de que existen muchas cosas diferentes a la vez en una clara relación mutua. La totalidad de interconexión básica entre todo se convierte en una cosa en si, en un momento. Y hay muchos de esos Ahoras, todos diferentes los unos de los otros. La gente está segura de que el tiempo esta ahí, pero que no pueden cogerlo. Pero para Barbour si no se puede obtener nada de él es porque no está allí en absoluto. Eso es lo que nosotros nos creemos, que existe el flujo de tiempo - y hasta vemos su movimiento - pero es, en realidad, una ilusión. Ha llegado a eso después de ver lo que la mecánica cuántica nos dice de como podría ser el universo.

El Dr. Barbour ha ganado recientemente un premio al escribir un ensayo sobre la naturaleza del tiempo.

El Dr. John Baez en su blog nos destaca el ensayo de su amigo Carlo Rovelli, “Forget time” en el que propone que la mecánica fundamental debe estar basada en la relación entre ciertas variables fundamentales, no en la evolución temporal de dichas variables. La descripción fundamental de la física no explicará qué es el tiempo, sencillamente, en dicha descripción el tiempo no existirá, no tendrá cabida. El tiempo será una magnitud derivada (fenomenológica) en dicha teoría fundamental sin tiempo.

La idea del ensayo proviene de que en la Teoría General de la Relatividad cada curva espacio-temporal tiene su propio tiempo (llamado tiempo propio). Cada observador tiene su propio tiempo y la teoría nos dice cómo debe calcular el de otro observador. Rovelli propone que la Gravedad Cuántica será una teoría sin tiempo global en la línea de la ecuación de Wheeler-De Witt, que carece de tiempo explícito. ¿Cómo surge el tiempo? Es una magnitud estadística, no fundamental. Cuando el número de grados de libertad crece emerge una noción “entrópica” del tiempo. Rovelli le llama “Hipótesis del Tiempo Térmico” (el tiempo es como la temperatura, a nivel microscópico es un concepto sin sentido).

Sobre la nada, el tiempo y la ecuación de Wheeler-De Witt (Dennis Overbye, Periódico La Nación)

Uno de los primeros intentos de imaginar que la nada es la fuente del todo ocurrió en 1965, cuando los doctores John Wheeler y Bryce De Witt, ahora en la Universidad de Texas, escribieron una ecuación que combina la relatividad general con la teoría cuántica. Desde entonces, los físicos han estado discutiendo sobre eso. La ecuación Wheeler-De Witt parece vivir en aquello que los físicos han apodado "superespacio": una suerte de ensamble matemático de todos los universos posibles: algunos llenos de vida y otros completamente desiertos; algunos en los que las constantes de la naturaleza y hasta el número de dimensiones son distintos del nuestro.

En la mecánica cuántica ordinaria, un electrón es pensado desplegándose por todo el espacio hasta que es medido y observado en un lugar determinado. De modo similar, nuestro propio universo se despliega por todo el superespacio hasta que, de alguna manera, es observado con sus cualidades y leyes particulares. Esto suscita otra pregunta: si nadie puede salirse del universo, ¿quién es el observador?
Para Wheeler, una posible respuesta es que simplemente seamos nosotros, por medio de actos mecánicos cuánticos de observación, en un proceso llamado "génesis por observación". "El pasado es teoría -escribió Wheeler-. No tiene existencia salvo en los registros del presente. Somos participantes, en un nivel microscópico, en la creación del pasado, al igual que del presente y del futuro."

La respuesta de Wheeler a San Agustín sobre el origen del Universo y del tiempo es que, colectivamente, "somos Dios", y que estamos siempre creando el universo.

La cara oscura del Universo

2009-07-01T14:34:00.008+02:00

El estudio de los cúmulos de galaxias nos ofrece una visión sorprendente del comportamiento de la materia oscura. Se compone de algún tipo de partícula que no interactúa con ninguna otra, es decir, es completamente idetectable más allá de su efecto gravitatorio.Una especie de sombra de la materia ordinaria, ¿ o quizás es al contrario?

Cuando Fritz Zwicky, el 1933, observó las velocidades de las galaxias en el cúmulo de Coma (la Cabellera de Berenice) no podía entender como aquella rica concentración de galaxias se mantenía unida. La media de las velocidades de las galaxias respecto al centro de masas del cúmulo superaba los 1000 Km/s. La masa necesaria para mantener estable el cúmulo habría de ser, según sus cálculos, muy superior a la masa correspondiente a las galaxias que lo forman. Dicho de otra forma, el campo gravitatorio generado unicamente por las galaxias no era, en absoluto, suficiente para evitar que se disgregaran por el espacio. El hecho de que el cúmulo se mantuviera gravitacionalmente ligado implicaba la necesidad de postular la existencia de una gran cantidad de materia oculta. Esta matería que se mantenía invisible al telescopio de 48 pulgadas de Monte Palomar con el cual Zwicky observaba el cúmulo podría existir en forma de estrellas frías o polvo y detectarla nada más sería posible con el posterior desarrollo de telescopios infrarrojos. Quizás la materia escondida podría estar en forma de gas muy caliente que emitiría en rayos X y que podría ser detectada mediante telescopios especiales que observaran el cúmulo en aquellas longitudes de onda desde fuera de la atmósfera.

Ambas observaciones se hicieron mucho después de los trabajos pioneros de Zwicky. En la década de 1980 se pudo comprobar que la mayor parte de materia ordinaria de un cúmulo está en forma de gas caliente con temperaturas de decenas de millones de grados. A estas temperaturas los átomos que componen el gas han perdido los electrones, decimos que están ionizados. Los electrones circulan a gran velocidad en un medio que llamamos plasma, cuando chocan con los iones sufren una frenada que se salda con la emisión de un fotón muy energético y se produce radiación en la banda X del espectro electromagnético.

Al observar un cúmulo de galaxias con un telescopio de rayos X desde el espacio, la imagen es muy diferente de la que se obtiene con un telescopio óptico. Se detectan extensas y difusas áreas de emisión de rayos X producidos por nubes de gas caliente atrapadas en el interior del cúmulo. El estudio de la temperatura e intensidad de esta radiación permite determinar la masa del cúmulo: una masa total unas cuatro veces superior a la masa luminosa del cúmulo. Poniendo números, podemos decir que el gas caliente que emite rayos X representa el 20% de la masa del cúmulo y las galaxias que observamos en el óptico e infrarrojos constituyen un 5% más. El 75% restante ha de ser materia oscura de naturaleza desconocida.

Hay una tercera vía para medir la cantidad de materia en un cúmulo de galaxias. Desde que Einstein lo propuso y Eddington lo comprobó experimentalmente, sabemos que la presencia de materia no sólo curva la trayectoria de los cuerpos en movimiento (por acción de la gravedad) sino que también hace curvar la trayectoria de los rayos de luz. Así se producen una serie de efectos peculiares: hay objetos que aparentemente cambian de posición a causa de la curvatura de la luz emitida por ellos, cambian de luminosidad aparente, y hasta padecen deformaciones en su forma. Estos cambios y deformaciones son más notorios cuando mayor es la cantidad de materia que la luz ha de atravesar. En un caso extremo, como es el de un cúmulo de galaxias, las deformaciones son muy fuertes, y perceptibles en imágenes realizadas con grandes telescopios, y en particular, con el telescopio espacial Hubble.

Si el cúmulo fuera una distribución extremadamente suave de materia, sin grumos, actuaría como una lente perfecta y produciría aumentos o distorsiones simples, pero como en realidad es extremadamente no homogeneo, el efecto se parece al que se produce cuando observamos a través de la base de un vaso de vidrio: aparecen arcos y deformaciones. Cuantificando este efecto, por ejemplo a través del número de arcos, las posiciones de estos, o el número de imágenes múltiples del mismo objeto, podemos medir la cantidad de materia que contiene el cúmulo.

Recientemente ha sido posible combinar todos estos tipos de medidas en un cúmulo muy interesante: el cúmulo de la Bala. Este cúmulo se compone en realidad de dos estructuras de galaxias, que aparentemente han chocado. Los dos grupos de galaxias se han atravesado, porque hace falta tener en cuenta que los cúmulos, aunque son muy densos en términos de número de galaxias, son en gran medida espacio vacío: dos cúmulos pueden perfectamente atravesarse sin que cada de las galaxias individuales choque. Así vemos que las dos agrupaciones de galaxias parecen ignorarse mútuamente, de hecho sólo podemos suponer que se han atravesado porque las respectivas velocidades indican que se alejan el uno del otro.

La componente gaseosa de los cúmulos, en cambio, no se puede atravesar alegremente. Cada uno arrastra su propio gas, y el choque entre estas dos bolas de fluido reproduce precisamente lo que esperamos. Ambos se atraviesan pero notan fuertemente los efectos de la colisión: pierden velocidad y además en uno de ellos aparecen estructuras debidas a la onda de choque.

¿Donde va, pues, la mayor parte de la masa del cúmulo? ¿Se comporta como el gas, percibe el choque, y se queda detrás respecto a las galaxias que se atraviesan como fantasmas? El mapa de densidad de materia obtenido gracias a este efecto de lente gravitatoria nos indica que, al contrario, la materia oscura que no vemos ha seguido perfectamente la trayectoria de las galaxias. es decir, cada uno de los agregados de materia oscura (el 75% de la masa total del cúmulo) no ha sentido en absoluto la presencia del otro.

Esta es, de hecho, una de las propiedades básicas de la materia oscura, una de las pocas bien establecidas, y una de las más misteriosas. La materia oscura se compone de algún tipo de partícula que no interactúa con ninguna otra, es decir, es completamente idetectable más allá de su efecto gravitatorio. No hay hoy en día dentro del modelo estandard de la materia que compone el universo partículas que cumplan esa propiedad. Hay esperanzas que ampliaciones de este modelo puedan llevar al descubrimiento de este tipo de partículas (los axiones o las partículas supersimétricas son algunos de los candidatos), pero tendremos que esperar a nuevos desarrollos en física de partículas. Quizás el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) en Ginebra nos acerpue un paso en la solución de este dilema.

Explicación sobre la imagen del cúmulo de Bala. Superpuesto a la imagen visible se incluye el mapa de emisión del gas caliente (rosa) y el mapa de densidad de materia obtenido usando el efecto de lente gravitatoria (azul). Se puede observar como el gas caliente ha sufrido los efectos de la colisión, mientras que la fantasmagórica materia oscura ha seguido su camino sin inmutarse.

Este post es la traducción del artículo "La cara fosca de l`Univers", del último número de la revista "Mètode" de la Universidad de Valencia. Mis agradecimientos a la revista y a los autores: Vicent Martínez, del Observatori Astronòmic de la Universitat de València, y a Alberto Fernandez-Soto del Instituto de Física de Cantabria. He disfrutado con este artículo sobre la sorprendente materia oscura, y me queda la sospecha, como les pasa a muchos, de que algo fundamental se nos escapa. La comprensión de estas oscuras compañeras de la materia puede traernos una nueva revolución en la física y en la comprensión de nuestro Universo. Un saludo amigos.

Estructuras disipativas, método científico y entropía

2009-06-11T12:32:00.012+02:00

De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.

El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.

Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).

Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.

¿Puede dar vida inteligente un universo caótico?

2009-06-01T12:39:00.006+02:00

Cada uno de los átomos que nos forman y las ideas que tenemos son ajenos.Todo cuanto somos lo sentimos muy dentro y muy nuestro, pero realmente proviene del exterior. Somos sistemas abiertos autoorganizados que necesitamos de la materia y de la información del entorno.

A diferencia de los sistemas cerrados, que no intercambian ni materia ni información con el exterior, nuestra entropía es capaz de disminuir, o, lo que es lo mismo, nuestra información y organización capaces de aumentar. Tomamos la información del exterior y ganamos en complejidad a costa de aumentar el desorden del entorno. En eso se basan los fundamentos de nuestra existencia.

Nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos.

Visto así, resulta difícil pensar que pudiera existir la vida a partir de un entorno caótico, sin leyes y sin orden. Sería completamente imposible, pues nuestro orden viene del entorno ordenado que nos rodea. De igual forma parece imposible pensar que nuestra inteligencia sea una pura casualidad, una isla entre un mundo sin inteligencia. Creo que nuestra inteligencia no puede aparecer en un mundo sin inteligencia, sin una inteligencia mucho mayor que la que disfrutamos en la actualidad. Los hombres del futuro y los seres mucho más inteligentes que nos sustituyan, sólo tienen una referencia que les permitirá seguir enseñándose y siendo cada vez más y más inteligentes. Esta referencia es su propio entorno, este universo, en cierta forma, inteligente que es capaz de transmitirnos orden e inteligencia. ¿Puede seguir haciendo seres cada vez más inteligentes un universo pura máquina-no inteligente?

En el post " El orden que vino de las estrellas", aclaraba que el orden, la baja entropía nos llega a través de la luz del Sol. "Pocos" rayos de radiación energética de baja entropía que nuestro planeta absorbe, y devuelve en forma de "muchos" rayos de radiación electromagnética de alta entropía. En el intercambio la Tierra se queda con la información, la baja entropía, suficiente para seguir soportando la vida y el orden que comporta. Por otra parte, también gracias a las estrellas, y a la fusión de los elementos primigenios, se formaron en su seno los elementos más pesados que forman nuestro cuerpo: carbono, nitrógeno, oxígeno, hierro, calcio, fósforo, etc.

Y todo comenzó con el Big Bang, que fue una explosión "en perfecto orden". No fue una explosión de la materia tal como entendemos que debe ser una explosión. Fue una explosión a partir de la cual se formó la materia y el espacio-tiempo. En cualquier explosión de un artefacto, se proyecta materia de forma desordenada hacia todas las direcciones, sobre un espacio ya existente, pero en la explosión inicial no fue así. El sistema que es el propio Universo comenzó su particular degradación entrópica, a partir de un mínimo de entropía, o de un máximo orden, que ha permitido el orden posterior de los sistemas que lo forman. Desde las galaxias o las estrellas hasta nuestro própio orden e inteligencia. Todo un misterio extraordinario, difícilmente entendible como pura casualidad.

A mi hija Alba. Por las eternas preguntas.

Lentes gravitatorias, los gigantescos telescopios cósmicos

2009-05-18T19:28:00.011+02:00

Dos rayos de luz que pasan a ambos lados de una estrella y que son desviados por ésta de la trayectoria recta pueden cortarse (ver la figura). Un observador que se encuentra en el punto de intersección verá dos imágenes de una misma estrella lejana. Esto, en esencia, es el efecto de lente gravitatoria.

El principio de equivalencia, principio fundamental de la teoría general de la relatividad, postula que en el campo gravitatorio todos los cuerpos son acelerados de igual manera e independientemente de su composición. Cualquier objeto, sea un satélite artificial, un cometa o un fotón cae en el campo gravitatorio de la Tierra con una misma aceleración 9,8 m/s2. Todos son atraídos de igual forma, pero se mueven de diferente manera. Su trayectoria se aproximará tanto más a una línea recta cuanto mayor sea su velocidad. La mayor velocidad de la naturaleza es la velocidad de la luz, por tanto, los fotones se moverán casi por una línea recta.

La curvatura de la trayectoria de un fotón cerca de una masa atractiva fue predicha por Albert Einstein y confirmada, junto con su teoría de gravitación, por A. Eddington durante un eclipse total de Sol (29-05-1919).El efecto es pequeño: un rayo de luz proveniente de una estrella lejana se desvía sólo 1,75´´ al pasar cerca del limbo solar. Eddington midió las posiciones de las estrellas cerca del disco solar durante un eclipse (sin eclipse las estrellas cercanas al disco no se verían) y las comparó con las posiciones verdaderas, medidas por la noche en otra época del año, cuando el campo gravitatorio del sol no altera la trayectoria de sus rayos. De esta comparación obtuvo la magnitud del efecto, que resultó muy cercana a la predicha por Einstein.

Dos rayos de luz que pasan a ambos lados de una estrella y que son desviados por ésta de la trayectoria recta pueden cortarse . Un observador que se encuentra en el punto de intersección verá dos imágenes de una misma estrella lejana. Esto, en esencia, es el efecto de lente gravitatoria.

Las lentes gravitatorias con simetría esférica producen dos imágenes, pero los campos gravitatorios de muchos objetos cósmicos, por ejemplo de las galaxias, no poseen simetría esférica y pueden producir un número impar de imágenes del objeto con diferentes magnitudes. Otro efecto de las lentes gravitatorias es el aumento de la radiación de la fuente, con la importancia que ello significa para fuentes, como los cuásares, que se encuentran en el universo profundo.

La distancia angular entre las imágenes que se obtienen durante el efecto de lentes galácticas, cuando en calidad de lente actúa una galaxia, es de aproximadamente un segundo de arco. Para el caso de efecto microlente esta distancia constituye sólo un milisegundo de arco. Desde la Tierra es imposible observar en la banda óptica dos imágenes separadas una distancia angular del orden de un milisegundo, pero en el caso de efecto de lente gravitatoria entre dos estrellas, su movimiento es mucho más rápido que cuando actúa una galaxia como lente, las estrellas están más cerca y la velocidad angular del movimiento es mayor.Por esta razón, las microlentes se investigan utilizando la variación del brillo de la estrella fuente.

El efecto de lente gravitatoria se observó por primera vez en objetos extragalácticos. La primera lente descubierta, y hoy la mejor investigada, es la QSO 0957+561 A,B. Se ha cartografiado detalladamente su estructura y se ha investigado la radiación del cuásar que constituye la fuente en casi todo el intervalo desde las ondas de radio hasta la radiación óptica. Las mediciones prolongadas de su brillo han permitido determinar la constante de Hubble mediante un método nuevo, basado en las diferencias observadas en la luz que recorre dos caminos diferentes. Midiendo la diferencia de los instantes de llegada de las señales se puede determinar la diferencia de los caminos ópticos, lo que, junto con la distancia angular conocida entre las imágenes, permite medir la distancia hasta el cuásar y la galaxia-lente. Comparando esta distancia con el corrimiento al rojo de los objetos se puede calcular la constante de Hubble.

Otro ejemplo de lente gravitatoria es la llamada Cruz de Einstein, QSO 2237+30. Su núcleo posee una distribución cuadripolar de densidad, y como resultado se forman cuatro imágenes brillantes distribuidas cruz. Aquí se puede intentar hallar el efecto microlente, que surge cuando el rayo cuásar-Tierra es cortado por una de las estrellas de la galaxia-lente. El resultado es un desdoblamiento adicional del rayo, la aparición de imágenes adicionales y la variación de su brillo total.

Finalmente, citaremos un tercer objeto también interesante llamado Anillo de Einstein, MG 1131+04, descubierto en la banda de radio durante las observaciones en el VLA. En la frecuencia de 5 GHz este objeto tiene el aspecto de un anillo un poco alargado, mientras que en la frecuencia de 15 GHz su forma se asemeja a dos lunas nuevas casi unidas.Analizando la imagen de este objeto en distintas partes del espectro, incluyendo el intervalo óptico, se puede deducir las dimensiones relativas de las regiones de la fuente que emiten en las bandas de radio y óptica. Obtenemos algo parecido a un telescopio cósmico gigantesco, que permite examinar los cuásares lejanos con un aumento lineal grande. Hoy se conocen más de una decena de anillos como este.

Tiempo, espacio-tiempo y paradigma holográfico

2009-05-06T12:14:00.011+02:00

Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.

El libro "The trouble with physics", titulado en español " Las dudas de la física en el siglo XXI. ¿Es la teoría de cuerdas un callejón sin salida?", escrito por un gran físico, Lee Smolin, me hizo pensar en su momento, cuando lo leí, en muchas cosas (es un libro crítico con la teoría de cuerdas y un buen libro de física) pero sobre todo en una de gran calado sobre la propia naturaleza del tiempo. Smolin, reflexionando sobre la futura teoría capaz de armonizar la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica (gravedad cuántica), habla de que tiene la sensación de que tanto una como la otra teoría están profundamente equivocadas sobre la naturaleza del tiempo. Piensa que estamos pasando por alto algo muy importante y esencial sobre el mismo.

¿Solución o problema? El tiempo.
Sitúa el arranque del problema a principios del siglo XVII, cuando Descartes y Galileo introdujeron, de forma realmente genial, el tiempo como una especie de otra dimensión nueva del espacio. En una gráfica situaban el espacio en el eje de las x y el tiempo en el eje de las y, de forma que el propio movimiento aparecía como una curva estática. El movimiento, en cierta forma, se congelaba y el cambio se presentaba estático e inmutable. Desde entonces esta forma de entender el tiempo, según Smolin, ha influido de forma notable en nuestra propia concepción del mismo y, posiblemente, nos ha desviado de su esencia que todavía desconocemos.

Esta reflexión me llevó a escribir el post sobre el ritmo justo del azar. A partir de un conjunto completamente aleatorio de números construimos un movimiento aleatorio browniano cuyo ritmo o velocidad de alejamiento de un punto arbitrario queda perfectamente determinado: cada NxN pasos que da el movimiento sólo lo alejan una distancia efectiva N. Tomemos como tomemos los números aleatorios para construir el movimiento obtendremos el mismo ritmo, una especie de velocidad de alejamiento, obtenida a partir de un conjunto amorfo de números. Establecemos una velocidad fundamental, un ritmo, a los que está ligada tiempo y distancia (pasos). Además este ritmo está directamente relacionado con una característica puramente geométrica, la dimensión fractal de la trayectoria del movimiento.

Universo conexo y paradigma holográfico
Para mi, fenómenos como la no-localidad y la coherencia cuántica nos dan una clave de lo que estamos pasando por alto. No sólo nos equivocamos con el tiempo sino con nuestra percepción de la realidad. La realidad formada por realidades completamente separadas nos ha ayudado a avanzar, a establecer y asentar nuestras verdades científicas, pero quizás ha llegado el momento de considerar que la única forma de seguir adelante sea descartar esa desconexión, si queremos de verdad profundizar en la esencia de nuestro mundo.

¿Es posible que el paradigma holográfico sea el nuevo camino? Personalmente creo que sí, pero no es es significativo porque yo lo crea, sino porque lo piensan así importantes físicos como Jacob D. Bekenstein, el Premio Nobel Gerard `t Hooft, de la Universidad de Utrech, Leonard Susskind, Juan Maldacena, de la Universidad de Harvard, o David Bohm.

Mucho antes de conocer los resultados que da la gravedad cuántica a la singularidad que representa un agujero negro, en base al paradigma holográfico deduje una solución similar (que por otra parte, no es difícil de deducir). De la misma forma que una parte de un holograma, separada del mismo, es capaz de reproducir (aunque con menor nitidez) el holograma completo, supuse que un agujero negro representaba esa misma separación o desconexión del total del universo. En base a esto pensé que en el interior de la singularidad que representa la materia vuelve a proyectarse hacia nuevas regiones del espacio-tiempo, en cierta forma, como un nuevo universo con sus propias características. Siempre siguiendo este hipotético paradigma, se podría suponer que su constante de acción de Planck sería bastante más grande que en el nuestro, lo que supondría una menor definición y mayor incertidumbre (se correspondería con la menor nitidez en la holografía).

Materia-energía e información
No sabemos con total seguridad si todavía existe un nivel de estructuración de la materia aún oculto para nosotros. En este caso los quarks y leptones serían formaciones compuestas de partículas todavía más elementales, pero, independientemente de ese nivel de elementalidad, del estudio de las propiedades de los agujeros negros se han deducido los límites absolutos que acotan la información que cabe en una región determinada del espacio. Teniendo en cuenta que esos límites dependen de la materia y energía contenida en ese espacio es asombroso que se pueda deducir un límite sin conocer ni siquiera, con absoluta certeza, el último componente de la materia.
Sea cual sea el último componente de la materia existe un límite en la información que es capaz de soportar una región determinada del espacio y curiosamente ese límite depende directamente de la superficie capaz de englobar esa región. Si esa superficie la consideramos como el área del horizonte de sucesos de un agujero negro, es como si la información estuviese escrita sobre esta superficie, de suerte que cada bit (cada 0 ó 1 de la codificación digital) correspondiera a 4 áreas de Planck (10 ^–66 centímetros cuadrados), como en una especie de holograma.

Fractales contra dimensiones enrolladas, una "oposición" geométrica

2009-04-16T12:53:00.009+02:00

Arrugar, romper o fracturar la continuidad clásica para aumentar la capacidad de un objeto de ocupar espacio, o enrollarlo para disminuir dicha capacidad. He aquí la cuestión, aparentemente trivial, que puede llevarnos a entender mejor el propio nacimiento de nuestro Universo.

Geometría fractal. La geometría sobre puntos, rectas, planos y demás objetos geométricos que se nos enseña en la escuela no es más que una abstracción, muy útil, sobre objetos reales de nuestra vida cotidiana. Cualquier superficie de la vida real, por muy perfecta que nos parezca nunca es un plano geométrico perfecto. Conforme la observemos con más y más aumento repararemos en un montón de imperfecciones que la van alejando de la geometría euclidea que nos han enseñado y la acercan, cada vez más, a una nueva geometría más cercana a la realidad que llamamos geometría fractal.

Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose con total libertad y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, concepto que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad.La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).

Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d ³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).

¿Que tiene que ver todo esto con las dimensiones enrolladas? Supongamos una manguera vista desde una distancia de doscientos metros. A todos los efectos prácticos sólo vemos una línea y una sola dimensión característica, su longitud. Un objeto tridimensional, aunque con dos dimensiones significativas en el orden práctico se ha convertido en una linea unidimensional. Mejor aún, para poder visualizar más fácilmente la "oposición" geométrica a la que se refiere el título del post, imaginemos una lámina superfina (despreciamos su espesor) de un material moldeable. Cuando la lámina está perfectamente extendida, y sin arrugas, tenemos un objeto geométrico con dos dimensiones. Si la arrugamos y comprimimos convenientemente hasta conseguir una bola tendremos un objeto con tres dimensiones significativas, por lo que habremos aumentado en una su dimensión inicial. Si, por el contrario, la enrollamos perfectamente hasta formar un tubo muy fino obtendremos un objeto unidimensional, una línea, y habremos disminuido en una su dimensión inicial. En cierta forma vemos que realizamos operaciones opuestas, geométricamente hablando. Una suma dimensiones (fractalizar) y la otra resta (enrollar).

¿Tiene algún sentido práctico todo esto? Puede tenerlo, y mucho. Imaginemos un fractal con una dimensión típica Dfr cuyas características dependen de la distancia, como hemos visto dos párrafos antes, según d^Dfr. Si lo recluimos en una trampa cuántica en dos dimensiones (hemos disminuido en una las dimensiones del espacio), su nueva dependencia será d^Dfr-1. Será un fractal más estable, menos irregular en la medida en que también es más pequeña su dimensión fractal. Siempre de forma hipotética, de forma casual me di cuenta de que en un universo emergente esta simple cuestión geométrica pudo tener mucho que ver en la estabilidad que presenta, en la actualidad, el vacío cuántico. Para un vacío cuántico cuyas fluctuaciones de energía fueran un fractal de dimensión (3 + 6), unas supuestas dimensiones enrolladas que nos dejaran un espacio de (9 - 6) dimensiones (6 enrolladas) contribuirián decisivamente a su estabilidad. En el momento clave en que debían quedar definidas las constantes típicas de este universo (la propia naturaleza del cuanto), las supuestas dimensiones enrolladas pudieron tener un papel primordial, puramente geométrico, en su definitiva fijación. (Ver en la Revista Elementos de la Universidad autónoma de Puebla, un esbozo de esta teoría)

Boltzmann, la ciencia humana y vulnerable

2009-04-07T08:34:00.005+02:00

Los hallazgos de Boltzman fueron esenciales para los trabajos desarrollados, más de cincuenta años después, por el Premio Nobel Ilya Prigogine sobre los sistemas lejos de equilibrio, sistemas que nos engloban a nosotros y a todos los seres vivos. También han permitido entender la llamada flecha del tiempo y los sistemas irreversibles que son, prácticamente, todos los sistemas reales, y para entender el caos y el orden que puede derivar de él.

Cuando estudiaba la carrera tuve que elegir entre una serie de asignaturas optativas. Entre ellas había una que tenía toda la pinta de ser una “maría”, parecía seguro que consistiría en entregar un trabajito y aprobado seguro. La asignatura en cuestión se llamaba : La Historia de la Física. Así que la cogí y me puse a reunir todo el material bibliográfico que necesitaba. Pronto me di cuenta de que nada era como me lo había imaginado. Tuve que dedicar bastante más tiempo del que creía, y esa asignatura me hizo reflexionar no sólo sobre la física y su historia, sino sobre las personas y los acontecimientos tan diversos que habían influido en su desarrollo. Los científicos famosos se volvieron, desde entonces, personas de carne y hueso enclavadas en una época de la Historia y no simples nombres asociados a sus fórmulas.

Entre todos me impresionó Ludwig Boltzmann, nacido en Viena en 1844 en el seno de una familia acomodada que pasó su niñez en un entorno tranquilo siempre ayudado por su devota madre Katharina Paurnfeind. Era un estudiante ambicioso e impaciente, y en sus años mozos su interés estuvo centrado en la naturaleza, coleccionando y clasificando insectos, y estudiando las plantas. Fue atomista en una época en que muchos de sus colegas más ilustres estaban en contra de esa idea que ahora consideramos tan normal y lógica. Tenía una personalidad compleja, atormentada y fácilmente susceptible a cualquier crítica a sus convicciones, era una especie de panteísta y un entusiasta de Darwin.

En la relación entre sus muchos opositores científicos su carácter tendente a la misantropía no le ayudó en nada y contribuyó a que su vida terminara en fatal desenlace. El más enconado de sus colegas fue Wilhelm Ostwald, con el que mantuvo fuertes discusiones en algunos de los congresos en los que se reunían. Tanto él como otros no entendieron bien la base estadística de los razonamientos de Boltzmann. Ostwald recibió el Premio Nobel de Química en 1909, tres años después de que el desdichado Boltzmann se quitara la vida en un triste episodio, aprovechando que su mujer y sus dos hijas lo habían dejado solo y se bañaban a escasos metros de su casa de veraneo en Duino, cerca de Trieste. También, tres años después de su muerte los trabajos de Jean Perrin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron finalmente las ideas de Boltzmann y convencieron a la comunidad científica de la existencia de los átomos.

A partir de la idea de que la materia está formada por átomos, como su parte más minúscula (aunque ahora sabemos que no son los constituyentes más pequeños), imaginó los estados macroscópicos de un sistema como derivados de otros microscópicos que afectan a los átomos y moléculas. Supuso que los átomos se podían mover de forma aleatoria a lo largo de las tres dimensiones y que podían ocupar una serie de niveles de energía. A partir de estas premisas pensaba que cada estado macroscópico era el resultado de una serie de estados microscópicos asociados con una determinada posibilidad. Cuanto mayor fuese esa probabilidad mayor sería la tendencia del sistema a ocupar ese macroestado. Bolztmann gracias a esas ideas fue pionero y un artífice esencial de una nueva disciplina física que se llamó Mecánica Estadística.

En base a estas ideas descubrió una expresión muy conocida e importante que relaciona la entropía de un sistema, o su tendencia natural al desorden, con una serie de microestados que afectan a sus mínimos componentes : S = K ln W .
Donde S es la entropía, K es una constante de proporcionalidad llamada de Boltzmann y ln W es el logaritmo natural del número de microestados asociados a una determinada configuración macroscópica del sistema. Uno de los aspectos más importantes que describe esta ecuación es la posibilidad de dar una definición absoluta al concepto de la entropía. Mientras que en la descripción clásica de la termodinámica, carece de sentido hablar del valor de la entropía de un sistema, siendo relevantes sólo los cambios en la misma, en la teoría estadística se permite definir la entropía absoluta de un sistema.

Un ejemplo sencillo nos ilustrará sobre el significado de la entropía y de la expresión de Boltzmann. Supongamos un saquito lleno de monedas. Si las ordenamos sobre la mesa, todas juntas con la cara hacia arriba, hemos conseguido que el sistema tenga una entropía mínima (cero) que se corresponde con un máximo orden. Sólo existe un microestado asociado a esta configuración {todo caras} y el logaritmo de la unidad es cero. Sería similar al orden que tiene una estructura cristalina a cero grados absolutos, sólo una configuración posible, máximo orden y entropía cero. Si volvemos a poner las monedas en el saquito, lo movemos bien, y las dejamos caer desordenadamente sobre la mesa el estado macroscópico que obtenemos está asociado a muchos estados microscópicos diferentes aleatorios. Cada vez que repitamos la operación obtendremos la misma sensación de desorden y nos será difícil distinguir la configuración actual de otra anterior. En este caso el valor de W de configuraciones es máximo y por tanto también la entropía, y mínimo el orden. Este estado es similar al llamado equilibrio térmico de un sistema, el de máximo desorden al que tienden de forma natural todos los sistemas aislados a los que no se les aporta orden desde el exterior.

Los hallazgos de Boltzman fueron esenciales para los trabajos desarrollados, más de cincuenta años después, por el Premio Nobel Ilya Prigogine sobre los sistemas lejos de equilibrio, sistemas que nos engloban a nosotros y a todos los seres vivos. También han permitido entender la llamada flecha del tiempo y los sistemas irreversibles que son, prácticamente, todos los sistemas reales, y para entender el caos y el orden que puede derivar de él.

Cuando hice el trabajo en la carrera estaba sugestionado por su muerte que la atribuí, de forma un tanto romántica e idealista, a la incomprensión de sus colegas hacia sus nuevas ideas revolucionarias, sin tener muy en cuenta sus posibles problemas psicológicos. Sea como fuera siempre veré a Boltzmann como un hombre, vulnerable como lo somos todos, luchando con su talento, su ciencia y sus desdichas por encontrar la verdad detrás de casi-una-quimera, como son todas las verdades científicas antes de ser confirmadas.

De mi colaboración con Libro de notas : Ciencias y letras.

El ritmo justo del azar

2009-03-20T23:11:00.014+01:00

El azar, el puro azar tiene su "ritmo" justo de cambio. Ni más, ni menos. Lo podremos "tentar" ofreciéndole más y más grados de libertad ... él los tomará, pero no conseguiremos ni retrasar, ni acelerar su ritmo bajo ningún concepto. Siempre seguirá fiel a sus "principios", que básicamente son muy sencillos. En cierta forma nos está dando una lección que deberíamos aprender. Referido al movimiento browniano y a su capacidad de recubrir dos dimensiones. Cuando lo trasladamos a dimensiones superiores sigue desplazándose por todas las dimensiones posibles, pero sólo es capaz de seguir recubriendo dos, contra lo que podría parecer.

Cada vez que lanzamos una moneda al azar puede salir cara o cruz, independientemente del resultado que hayamos obtenido en un lanzamiento anterior. Así de simples son las leyes que rigen el puro azar.

A partir de los resultados que vayamos obteniendo en sucesivos lanzamientos podemos confeccionar una tabla como la de la figura, que se corresponde con una tanda de 100 lanzamientos. Esta tabla y la que vamos a considerar, que en general puede contener miles de resultados es algo estático, sin movimiento, pero nos ayudará a desentrañar los entresijos del movimiento al azar que llamamos movimiento browniano, en honor al naturalista escocés Robert Brown que lo observó a principios del siglo XIX, cuando estudiaba suspensiones en el agua de granos de polen y esporas de musgos. Es un movimiento en zig zag, arbitrario, hacia cualquier dirección posible de desplazamiento.

A partir de una tabla, como la de la figura, tomaremos parejas consecutivas de unos y ceros.La primera parte de la pareja será la x y la otra la coordenada y. Los unos significarán "avanza 1" y los ceros querrán decir "retrocede 1". En un plano partiremos del punto (0,0) y conforme vayamos traduciendo la tabla a movimientos en el plano estaremos representando el movimiento aleatorio que hemos llamado browniano.

Azar y dimensión fractal
En un movimiento lineal cada uno de los puntos de su trayectoria viene definido por un solo número que nos indica su distancia al origen, se habla de que tiene una dimensión (el largo). En un plano necesitamos dos números para identificar cada uno de sus puntos, las coordenadas x/y o el largo y el ancho, por lo que decimos que tiene dos dimensiones. El movimiento browniano, como movimiento lineal que es tiene dimensión topológica 1, pero asombrosamente es capaz de recubrir el plano, de llenarlo. De ahí que digamos que su dimensión como fractal sea 2, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 2. A las figuras tan tortuosas e intrincadas como este movimiento aleatorio, Benoit Mandelbrot las llamó fractales, del latín "fractus" que significa fracturado o roto, discontinuo.Y este movimiento es, sin lugar a dudas, muy buen representante de esta nueva categoría de objetos geométricos omnipresentes en la naturaleza.

Cada momento el movimiento aleatorio avanza o retrocede en sus coordenadas x ó y, independientemente de lo que hiciera en el instante anterior, tiene absoluta libertad para desplazarse a través de cada una de las coordenadas. Esta idea se tiende a trasladar cuando el movimiento ocurre en un espacio de tres dimensiones como nuestro espacio ordinario, o de más dimensiones, y es correcta. De la misma forma tendemos a pensar que, también, en un espacio tridimensional el movimiento browniano será capaz de llenarlo, o cubrirlo, por completo. Esa es la idea que tenía yo al empezar a estudiarlo y la idea que ha tratado de defender algún lector, en alguna ocasión, a capa y espada, pero como demostraremos es una idea equivocada.

La magia del número 2
El valor 2 que caracteriza la dimensión fractal de este movimiento, también se puede definir de una manera muy intuitiva: necesita realizar N² pasos para alejarse de un punto cualquiera de referencia, sólo, N pasos efectivos. En tres dimensiones debería efectuar N³ pasos totales para alejarse, sólo, N pasos efectivos, pero como veremos eso no depende del número de dimensiones o grados de libertad sino de una característica independiente de las propias del espacio en que se mueve. Para demostrar esto nos fijaremos en la definición intuitiva que relaciona la distancia total con la efectiva.

La distancia total que recorre la partícula animada por un movimiento browniano es proporcional al número de pasos N, sin embargo la distancia efectiva se encontraría después de sumar los desplazamientos positivos y negativos. Para definir el resultado de esa suma existe una medida de dispersión apropiada que llamamos desviación típica, que para la distribución binomial con la que se corresponde el azar como lo hemos considerado resulta ser la raíz_cuadrada(N/4), pues es igual a raíz_cuadrada(Npq), siendo n = p = 1/2, ya que la posibilidad de que salga 0 ó 1 es la misma, y su suma debe ser la unidad.

Después de N pasos, la distancia efectiva para cada dimensión, considerada independiente, será raíz_cuadrada(N/4). Si consideramos 3 dimensiones la distancia efectiva será raíz_cuadrada(3 N/4). Esta magnitud la comparamos con la distancia total recorrida después de los N pasos: N raíz_cuadrada(3). Para N suficientemente grande sólo resulta significativa la comparación entre N y raíz_cuadrada de N, independientemente de que multipliquemos los dos términos por 3, 4, 5, ... d, cualquiera que sean las dimensiones del espacio considerado. De la comparación anterior resulta el valor de 2 de su dimensión fractal, o la consideración de realizar N² pasos totales para sólo conseguir N efectivos.

Recapitulando
El movimiento browniano sólo es capaz de recubrir un espacio de 2 dimensiones (un plano). En un espacio de 3 ó más dimensiones su "ritmo" de distanciamiento de cualquier punto arbitrario, que consideremos como referencia, no es lo suficientemente "lento" para poderlo recubrir. Para recubrir un espacio de 3 dimensiones su ritmo de distanciamiento debería ser de N³ pasos totales para recorrer sólo N (dimensión fractal 3), para un espacio de 4 dimensiones serían N⁴ pasos totales para sólo N efectivos, y así sucesivamente. Sin embargo, el ritmo del movimiento lo imprime la desviación típica de la distribución binomial, que no depende de la dimensión del espacio, y cuyo valor es invariablemente igual a la raíz_cuadrada (N/4). Por eso, sea cualquiera el espacio considerado con tres o más dimensiones la dimensión fractal del movimiento browniano seguirá siendo 2. Para aumentar la dimensión fractal del movimiento deberíamos conseguir que cada nuevo paso tuviera "memoria" del resultado de los pasos anteriores y así disminuir su "ritmo" de alejamiento. Es como si en una carrera de 2 Km. nos obligaran a cumplimentar 200 tareas diferentes a lo largo de diferentes puntos del trayecto. Para una cierta velocidad conseguimos cumplimentar sólo 100 tareas y nos damos cuenta que para cumplimentar las 200 debemos disminuir el ritmo, o de lo contrario será imposible. De la misma manera el azar tiene su "ritmo" y ese ritmo sólo le permite recubrir un plano, no un espacio de 3 ó más dimensiones.

Cuántica fácil (II).Lo clasico y lo cuantico, ecuación de Schrödinger y unificación

2009-03-04T20:41:00.009+01:00

La resistencia a la compresión de los átomos, al contrario de lo que pueda parecer, es un efecto cuántico. Al comprimir un material, los átomos cada vez están más próximos y se obliga a confinar a sus electrones en regiones cada vez más pequeñas. Al disminuir el espacio, por el principio de incertidumbre, los electrones reaccionan moviéndose cada vez más rápido ( la variación de [espacio] más pequeña implica que el producto [masa] x [velocidad] sea más grande), lo que conlleva una mayor energía cinética. Se necesita una energía cada vez mayor para continuar comprimiendo los átomos. Consecuencia: la resistencia a la compresión por parte de los átomos es un efecto cuántico y no clásico. Curiosamente, la propia cohesión de la materia no se puede explicar con la física clásica. Atendiendo a principios puramente clásicos la estabilidad de la materia que conocemos sería, practicamente, imposible. ( Ver)

La ecuación de Schrödinger
De acuerdo con el principio de incertidumbre, las partículas no tienen posiciones y momentos bien definidos. En general, esta teoría no predice un único valor como resultado de una medida. En su lugar, predice un conjunto de posibles resultados cada uno con una cierta probabilidad. El comportamiento de una partícula viene descrito por la función de onda asociada, que, a su vez, está relacionada con la probabilidad de que la partícula esté en un estado determinado. La ecuación de Schrödinger proporciona un método para determinar estas probabilidades. Si en un momento dado, conocemos la función de ondas, la ecuación de Scherödinger predice su evolución de modo totalmente determinista. El indeterminismo sólo aparece cuando tratamos de medir en qué estado se encuentra la partícula.

Electrodinámica cuántica
Las partículas subatómicas suelen moverse a velocidades próximas a la luz, por lo que su descripción cuántica tiene que ser compatible con la relatividad especial. La electrodinámica cuántica cumple estos requisitos, y suministra unos resultados de una coincidencia extraordinaria con los experimentos en todo lo que se refiere al estudio de la interacción de la luz con la materia o, más específicamente, de la luz con los electrones. En esta teoría, sólo interviene la interacción electromagnética, que es la que juega un papel relevante. Una de las grandes predicciones de esta teoría fue realizada en 1929 por Dirac sobre la existencia de la antimateria.

Unificación
La mecánica cuántica ha conducido a una visión más unificada al considerar las partículas y los campos, como el gravitatorio y el electromagnético. Cuánticamente, la energía y el momento del campo electromagnético vienen en paquetes (cuantos), que denominamos fotones, y que se comportan como partículas, aunque sin masa en reposo. En el caso del campo gravitatorio, los cuantos se llaman gravitones. La distinción entre fuerza y materia (partículas de fuerza o bosones y de materia o fermiones(*)) se ha hecho menos rígida; cualquier partícula puede utilizarse como cuerpo de prueba sobre la que actúan las fuerzas y, recíprocamente, puede actuar como partícula mediadora dando lugar a fuerzas.

Sin embargo existe una dificultad para unificar la gravitación con las otras tres fuerzas, pues el principio de incertidumbre no se ha logrado incorporar a la formulación de la interacción gravitatoria (su cuantificación da lugar a la aparición de infinitos). Como paso previo se necesita combinar la relatividad general, que es la teoría más completa sobre la gravitación, con dicho principio. Esta combinación puede hacer que desaparezca la singularidad predicha por la relatividad general en el origen del Universo y que los agujeros negros permitan que algo pueda escapar de su interior (gravedad cuántica). Una teoría en que se combine la cuantización con la gravedad, requiere de un espaciotiempo tanto deformable como probabilístico, lo que se ha hecho difícil de poder concretar. En la teoría de las supercuerdas, la fusión es lograda imaginándose que el último eslabón de la materia está constituido por diminutas cuerdas. En la teoría de la gravedad cuántica de lazos, la fusión es intentada imaginándose que el espacio en sí mismo consiste en diminutos lazos móviles. Se ha considerado la posibilidad de que el espaciotiempo sondeado a diminutas escalas de longitud esté cuantizado en discretos y diminutos volúmenes semejantes a pliegues conformados por pequeños lazos.

En palabras del propio Einstein:" Pensamientos e ideas, no fórmulas, constituyen el principio de toda teoría física. Las ideas deben, después, adoptar la forma matemática de una teoría cuantitativa, para hacer posible su confrontación con la experiencia". Detrás de cualquiera de las ideas válidas que nos harán avanzar, se encuentran principios de simetrías. Estos principios permiten establecer que las leyes de la física no dependen de la orientación ni de la posición. Las leyes deben adoptar la misma forma para observadores que se muevan o no a velocidad constante, sea cual sea su sistema de referencia.La teoría final del todo descansará en principios complejos de simetría capaces de unificar las cuatro interacciones y la mecánica cuántica.

(*)Las partículas de fuerza o bosones se llaman así en honor de Satyendranath N.Bose. Los fermiones o partículas de materia deben su nombre a Enrico Fermi.

Física cuántica fácil (I)

2009-02-20T19:31:00.002+01:00

Lo continuo y lo discreto
Ciertas magnitudes varían de forma continua, mientras otras lo hacen de forma discreta o discontinua. Al pesar grandes cantidades de granos de arroz, se pueden considerar sus masas como continuas, aunque es evidente su composición granular. Sin embargo, si analizamos pequeñas cantidades de arroz, usando una balanza de gran precisión, tenemos que tener en cuenta el hecho de que la masa varía a saltos; la magnitud mínima de cada salto es el peso de un grano de arroz, aproximadamente 0,025 gramos. Cada uno de estos pasos mínimos indivisibles es lo que denominamos cuantos elementales de la magnitud en cuestión. En este ejemplo, el peso de un grano de arroz sería el cuanto elemental.

A principios del siglo XX, Max Planck sugirió que la radiación electromagnética estaba formada por pequeños paquetes, o cuantos de energía indivisibles, que, posteriormente, se denominaron fotones. Su valor sería igual a una constante llamada h (mínima acción de Planck) multiplicada por la frecuencia de la radiación. Algunos años más tarde Einstein, basándose en esta idea, proporcionó una explicación satisfactoria de la extracción de electrones de un metal por la luz que incide sobre el mismo, en lo que se llama efecto el efecto fotoeléctrico.

Principio de complementariedad
En general, el comportamiento de las partículas subatómicas no se puede explicar con los conceptos clásicos de partículas y ondas del mundo macroscópico. Bohr expresó esta idea básica nueva con su principio de complementariedad. La concepción corpuscular y la descripción ondulatoria, que siempre se habían creído excluyentes, son complementarias. Se necesitan los dos conceptos para tener una descripción completa sobre las partículas subatómicas, tales como protones o electrones, pues se comportan, según las circunstancias, como ondas o como partículas. Pueden difractarse por una red cristalina, lo que constituye un fenómeno típicamente ondulatorio. De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula tiene asociada una onda, cuya longitud característica es inversamente proporcional a su momento lineal (masa x velocidad).

Principio de incertidumbre
Las magnitudes asociadas a las partículas subatómicas no están siempre bien definidas. Por ejemplo, si conocemos la posición de un electrón o un fotón, su momento lineal no está bien definido. Podemos realizar un experimento para encontrar la posición y otro para medir su momento, pero estas dos medidas se excluyen mutuamente; esto es, no se pueden determinar simultáneamente la posición y el momento de una partícula cuántica. Este hecho tan asombroso constituye el llamado principio de incertidumbre de Heisenberg.

Para entender las razones de esta incertidumbre, consideremos que deseamos hallar la posición de un electrón. Para saber dónde se encuentra necesitamos observarlo enviando, por ejemplo, un fotón que se refleje en el electrón. Pero el electrón tiene una masa muy pequeña, por lo que el fotón tiene suficiente energía para hacerlo retroceder en una dirección impredecible. Por tanto, no importa lo cuidadoso que seamos al tratar de medir la posición exacta del electrón, siempre introduciremos una indeterminación en la velocidad y momento del electrón.

Una forma de establecer este principio es afirmar que las cantidades medibles están sometidas a fluctuaciones impredecibles que hacen que sus valores no estén bien determinados. Las magnitudes aparecen reunidas en parejas incompatibles tales como posición y momento, energía y tiempo, etc. La incertidumbre en la medida de una de estas magnitudes multiplicada por la incertidumbre de la correspondiente en la pareja no puede ser nunca menor que h. Puesto que h tiene un valor muy pequeño, el grado de indeterminación es sólo importante en el mundo subatómico, aunque, en principio, se aplica a todos los sistemas. Para la física clásica la constante h no tiene ningún sentido, por lo que la incertidumbre puede ser, perfectamente, cero (como cero es la mínima acción considerada para la física clásica de Newton).

Principio de incertidumbre para la energía. Pares de partículas virtuales
De este principio se deriva que cuanto menor es el tamaño de la región que queremos explorar, mayor es el momento y, en consecuencia, la energía para poder hacerlo. Por esta razón, para estudiar regiones muy pequeñas se necesitan partículas con una gran energía; de ahí, la necesidad de contar con grandes aceleradores de partículas.

Análogamente, existe una incertidumbre relacionada con la energía y el tiempo. No podemos conocer con toda precisión la energía que tiene un sistema mecanocuántico en un instante determinado. La incertidumbre en el valor de la energía del sistema multiplicado por la incertidumbre del valor del instante de tiempo en que se realiza la medida tiene que ser nuevamente mayor que la constante de Planck. Si tenemos en cuenta la famosa ecuación de equivalencia entre masa y energía E = mc², la incertidumbre en la medida de la energía se traduce en incertidumbre en el valor de la masa del sistema. En un instante muy corto de tiempo, no podemos estar seguros de cuál es la masa de nuestro sistema. La materia puede aparecer y desaparecer espontáneamente en el vacío. Puesto que siempre que aparece una partícula de materia se debe crear otra de antimateria, el tiempo durante el cual puede existir el par partícula-antipartícula es extraordinariamente corto; tanto menor cuanto mayor es la masa de las partículas. Aplicando la expresión del principio de incertidumbre para un par electrón-positrón se obtiene que este intervalo es de 6.5x10^-22 seg. Este proceso puede ocurrir en cualquier sitio y en cualquier instante de tiempo, pero sólo durante un intervalo de tiempo extraordinariamente corto. Por ello es imposible una observación directa de estas partículas, aunque se pueden detectar sus efectos. Esta es la razón por lo que a estos pares de partícula-antipartícula se les da el nombre de virtuales.

Del libro "Física para jusristas, economistas... y demás gente curiosa", de Roberto González Amado (Catedrático de física aplicada en la Universidad Carlos III de Madrid). Ed. Critica. Barcelona 1996.

Entalpía y entropía, la física de la vida

2009-02-10T18:32:00.009+01:00

Cuando mis obligaciones me lo permiten me paso por la librería París-Valencia de la Gran Vía del Marqués del Turia (Valencia), la de la calle Pelayo o la de la Glorieta. Allí suelo encontrar verdaderas oportunidades en libros científicos (y en cualquier otro tipo de libros). El otro día encontré un hermoso libro muy bien encuadernado, con buenas ilustraciones a todo color y no menos llamativas y detalladas explicaciones sobre los procesos básicos de la vida. En la primera de las seis partes de que se compone comienza con una introducción a las reacciones químicas de la célula, y habla sobre las variables termodinámicas de estado, entalpía y entropía, esenciales para comprender este tipo de reacciones. Precisamente sobre esto hablaremos en este post, sobre los factores energéticos que influyen y posibilitan las reacciones bioquímicas y, por tanto, la propia vida.

La vida y la energía:
La vida es un complejo proceso físico-químico en el que están implicadas miles de reacciones diferentes que se llevan a cabo de un modo organizado. Estas reacciones se llaman reacciones metabólicas y al conjunto de ellas metabolismo. Las estrategias que han debido perfeccionarse a lo largo de millones de años de evolución son ciertamente elegantes y fascinantes, pero la consideración fundamental ante cualquier aspecto relacionado con la vida viene referido a una serie de aportes o pérdidas de energía. Son, pues, las consideraciones energéticas las que determinan si una reacción se puede producir a velocidad significativa, o si la misma puede o no producirse en sentido opuesto.

Entalpía H(*):
En los sistemas moleculares del interior de las células, donde tienen lugar las reacciones químicas, las variaciones de energía no son tan evidentes como en los sistemas físicos más usuales y sencillos sujetos a cambios de energía potencial y cinética, como puedan ser los que se refieren a movimientos de cuerpos en un campo gravitatorio. Un sistema químico comprende una gran cantidad de moléculas diferentes que contienen una cierta cantidad de energía en función de su estructura. Esta energía puede ser descrita como el contenido en calor o entalpía (H) de la molécula. Cuando una molécula se transforma en una estructura diferente mediante una reacción química, su contenido energético puede cambiar. Su variacion de entalpía puede ser negativa, cuando se pierde calor de la molécula, y éste se libera elevando la temperatura exterior, o positiva, cuando se capta calor del exterior.

A primera vista, parece sorprendente que puedan producirse reacciones con una variación de entalpía positiva, lo que podría compararse, en cierta forma, con un cuerpo que se elevara a sí mismo del suelo, absorbiendo la energía necesaria del exterior espontáneamente. Precisamente, en las reacciones químicas una variación negativa de la entalpía favorece la reacción, mientras que una variación positiva tiene el efecto opuesto. De todas formas, la variación de la entalpía no es el único árbitro que determina la viavilidad de las reacciones, la variación de la entropía (S) tiene mucho que decir en el asunto.

Entropía (S):
La entropía puede definirse como el grado de desorden de un sistema. En una reacción bioquímica, este desorden puede adoptar tres formas:

- Las moléculas no suelen ser rígidas ni permanecer fijas, por lo que pueden vibrar, girar o rotar. Cuanto mayor es la libertad para consentir estos movimientos moleculares, mayor es el desorden o la entropía.
- En un sistema bioquímico están implicadas un gran número de moléculas individuales que pueden encontrarse distribuidas de modo disperso y desordenado o adoptar algún tipo de disposición ordenada como ocurre en gran medida en las células vivas.
- El número de moléculas individuales o iones pueden cambiar como resultado de la transformación química. Cuanto mayor es su número, mayor es el desorden y por tanto la entropía.

Tanto la variación de entalpia como la variación de la entropía intervienen en la decisión para determinar si una reacción química puede producirse o no:

- Pérdida de entalpía y ganancia de entropía => refuerzan ambos la decisión: SÍ a la reacción química.

- Ganancia de entalpía y pérdida de entropía => refuerzan ambos la decisión: No a la reacción química.

Energía libre (G):
Sin embargo, en los sistemas biológicos es difícil si no imposible, en muchas ocasiones, medir el término de la variación de entropía. La solución se hace más fácil con la introducción del concepto de energía libre de Gibbs que combina los dos términos en uno solo. El cambio de energía libre o G, según Gibbs, viene dado por la expresión: (variación de G) = (variación de H) - T (variación de S), donde T es la temperatura absoluta. Esta ecuación se aplica a los sistemas en los que la temperatura y la presión permanecen constantes durante el proceso, como es el caso de los sistemas biológicos.

Al hablar de energía libre nos referimos a energía disponible para realizar un trabajo útil. Representa la máxima cantidad de energía procedente de una reacción química disponible para realizar trabajo útil. Este incluye la contracción muscular, la síntesis química en la celula y los trabajos osmóticos y eléctrico, sus valores se expresan en unidades de calorías o julios ( 1 caloría = 4,19 julios) por unidades de masa molecular.

El término de mayor importancia:
La variación de energía libre es el término de mayor importancia termodinámica en una reacción, hasta tal punto que sólo puede ocurrir si dicha variación de energía libre es negativa, es decir, si en las condiciones predominantes los productos de la reacción tienen menos energía libre que los reactivos.

(*)Entalpía termodinámica:

La entalpía (simbolizada generalmente como "H", también llamada contenido de calor, y calculada en Julios en el sistema internacional de unidades o también en kcal ), es una variable de estado, (lo que quiere decir que, sólo depende de los estados inicial y final) que se define como la suma de la energía interna de un sistema termodinámico y el producto de su volumen y su presión.
La entalpía total de un sistema no puede ser medida directamente, al igual que la energía interna, en cambio, la variación de entalpía de un sistema sí puede ser medida experimentalmente. El cambio de la entalpía del sistema causado por un proceso llevado a cabo a presión constante, es igual al calor absorbido por el sistema durante dicho proceso.
La entalpía se define mediante la siguiente fórmula: H = U + p V (energía interna + presión por volumen).

El siglo del electromagnetismo: Faraday y Maxwell

2009-02-02T20:58:00.005+01:00

Aunque la electricidad y el magnetismo eran conocidos desde la antigüedad, fue en el siglo XIX cuando se descubrió que no son fenómenos separados y forman parte de un fenómeno más general llamado electromagnetismo. Su estudio en profundidad dio paso a una transformación completa de nuestra sociedad: motores eléctricos, distribución y aplicación a gran escala de la electricidad, telégrafo, radio, televisión y miles de aplicaciones cotidianas que han cambiado nuestras vidas para siempre. Además, la identificación de la luz como fenómeno electromagnético puso las bases de la revolución que ha supuesto la teoría de la relatividad.
El punto de partida fue un sencillo experimento que realizó el físico-químico danés Hans Christian Oersted en 1820, en presencia de sus alumnos. Al acercar un hilo conductor, por el que circulaba electricidad, a una brújula observó que ésta se movía. Esto demostraba que podía haber interacción entre uno y otro fenómeno lo que en aquella época resultaba revolucionario. Pero hasta que no se interesó por el fenómeno el matemático y físico francés André-Marie Ampère, y estableció las bases teóricas del electromagnetismo, los resultados obtenidos por Oersted no fueron valorados como se merecían.
En 1821 Michael Faraday, un aprendiz de encuadernador que ascendió de ayudante en la Royal Institution londinense a catedrático del mismo centro, demostró que un hilo por el que pasaba una corriente eléctrica podía girar de manera contínua, con lo que se vió que era posible obtener efectos mecánicos. Había sentado las bases del motor eléctrico. Sin embargo lo que le interesaba a Faraday no eran tanto las aplicaciones prácticas sino los principios que gobiernan la naturaleza, y en particular las relaciones mútuas entre fuerzas, en principio, diferentes. En 1831 descubrió la inducción electromagnética, un fenómeno que liga los movimientos mecánicos y el magnetismo con la producción de corriente eléctrica. Había sentado, también, las bases de los generadores eléctricos.
Faraday era un experimentador extraordinariamente hábil, que hizo avanzar el estudio de los fenómenos electromagnéticos, pero para desarrollar una teoría del electromagnetismo se necesitaba otro tipo de científico. Este científico, que iba a complementar el genio de Faraday, fue el escocés James Clerk Maxwell. Valiéndose de la noción de líneas de fuerza introducida por Faraday, así como de los resultados experimentales y teóricos de un buen número de investigadores, Maxwell logró desarrollar un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales que rigen el comportamiento del campo electromagnético (un nuevo medio) que él supuso transportaba las fuerzas eléctricas y magnéticas, ecuaciones que hoy denominamos en su honor ecuaciones de Maxwell.

Con su teoría del campo electromagnético, Maxwell logró unir electricidad, magnetismo y óptica, pues demostró que el sustrato electromagnético se comporta como una onda mientras que la propia luz es una onda electromagnética.Esto último fue realmente un resultado completamente inesperado. En su artículo, “Sobre las líneas físicas de fuerza”, en el que presentó esta idea, afirmaba con excitación:“Difícilmente podemos evitar la inferencia de que la luz consiste de ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos”.

Faraday, además de un gran científico, fue un magnífico divulgador en conferencias que desde 1826 pronunció en Navidad, especialmente para jóvenes, en la sede de la Royal Institution londinense. Además de sus tratados eminentemente técnicos (“Experimental Researches in Electricity” y “Experimental Researches in Chemistry and Physics), un pequeño libro llamado “Historia química de una vela”, ilustra a la perfección esta faceta.

Maxwell escribió su tratado sobre electromagnetismo” Treatise on Electricity and Magnetism”, un texto difícil por su tratamiento y por las matemáticas que utiliza (Maxwell era un gran matemático), que fue capital para la física del siglo XX. La relatividad einsteniana, en la que es tan importante la velocidad de referencia de la luz en el vacío, no habría sido posible sin sus ecuaciones que llevaban implícita la existencia de un nuevo medio tan importante como es el campo electromagnético y la “muerte” de otro medio imaginario llamado éter.

Un sencillo experimento de un profesor ante sus alumnos nos abrió las puertas a la sociedad moderna. Una sociedad impensable sin la electricidad, sin los motores y generadores eléctricos, donde un simple apagón parece que nos devuelve a la edad de las cavernas.

Artículo de mi colaboración con Libro de notas (Ciencias y letras)

Nota al margen: A mi padre.

Creo que nunca llegamos a entender ni lo que significa una nueva vida ni lo que significa la muerte. Como mucho nos acostumbramos. Nos acostumbramos al nuevo ser o nos acostumbramos a la ausencia de la persona querida, pero no llegamos de verdad a entenderlo.

Hoy hace una semana enterraba a mi padre y, recordando algo tan sencillo como el último café que nos tomamos y del que disfruté de verdad porque sabía que nos quedaban pocos, no puedo entender que fuera el último, que no lo volveré a ver ni volveré a disfrutar del candor de su compañía.

Fue un hombre sencillo y cariñoso. La enfermedad nos trajo dolor y sufrimiento, pero también dulcificó su carácter y nos mostró al mejor ser humano que llevaba dentro. Descanse en paz.

Cantor, el infinito y más allá

2009-01-15T21:21:00.012+01:00

Mi hija Alba cuando tenía cinco años me sorprendía con afirmaciones, aparentemente trascendentes, sobre el infinito y algunas otras cuestiones peliagudas. Recuerdo que un día me dejó perplejo al soltarme a bocajarro: " Papá, el infinito nunca para, siempre se está haciendo". No sé cómo llegó a esa conclusión ni en base a qué, pero en su mente infantil parecía una evidencia pura e incontestable. Después las matemáticas no han sido, precisamente, su fuerte pero aquellas afirmaciones parecían relacionadas con las cuestiones sobre la vida, la muerte o el mundo que parecen preocupar en un momento determinado de la primera infancia a muchos niños. El post sobre los números primos, su infinitud y su "misteriosa" distribución me hizo reflexionar sobre algunos aspectos del infinito que me han hecho recordar esta anécdota y publicar este post.

En la Grecia antigua Platón, Pitágoras y Aristóles entre otros, se planteaban la existencia del infinito y las contradicciones generadas a partir de la aceptación de su existencia. Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto: el infinito potencial y el infinito actual. La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión "así sucesivamente'' encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito. Por otra parte, el infinito actual se refiere al un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristoteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.

Georg Cantor:

El gran matemático alemán Georg Cantor dedicó gran parte de su vida al estudio del infinito, los distintos infinitos y el llamado continuo, y en el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos intimamente relacionada con la teoría de números transfinitos. Cantor fundamentó una axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para esto definió el concepto de "cardinalidad'' o "potencia'' de un conjunto.Dos conjuntos se dicen que tienen el mismo número de elementos, que tienen la misma cardinalidad o son equipotentes, si existe una función definida entre ellos de forma que a cada elemento de uno sólo le corresponde otro elemento del otro conjunto, y viceversa.

A partir de esta definición se puede establecer la idea de conjunto infinito. Se dice que un conjunto es infinito si existe un subconjunto con la misma cardinalidad o que es equipotente con él. Esta definición plantea una contradicción con la intuición, pues todo subconjunto como parte del conjunto total parece que deba tener menos elementos. Eso es así, efectivamente, en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos como podemos observar con un ejemplo sencillo dentro del conjunto de los números naturales. Supongamos que al número natural 100.000.001 le hacemos corresponder el número 1, al 100.000.002 el 2, al 100.000.003 el 3 y así establecemos una correspondencia número a número tan extensa como queramos. Vemos que a cada elemento del subconjunto de números naturales que comienzan con el 100.000.001 le hacemos corresponder un número, y sólo un número del conjunto total de los números naturales, y viceversa.

Cantor se dio cuenta de que existen diferentes grados de infinitud comparando los infinitos de los números naturales N {1,2,3,...n}, racionales Q (fracciones) y reales R(racionales + irracionales). Al cardinal infinito del conjunto de los números naturales le asignó el número llamado Aleph-0 y vio que era del mismo orden que el correspondiente a los números racionales, aunque estos son mucho más densos en la recta. Pero en el caso de los números reales su cardinal transfinito es de mayor orden pues su conjunto no es numerable (no se pueden poner en correspondencia, uno a uno, con los números naturales). A este cardinal le asignó el nombre de Aleph-1 y se supone que R es capaz de llenar la recta por completo, si se admite la hipótesis del continuo (a diferencia de lo que ocurre con los números racionales, los enteros o los naturales).

El descubrimiento de la existencia de cardinales transfinitos supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían su trabajo no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría, como ocurre con el llamado quinto postulado euclidiano sobre las rectas paralelas. Si se admite tenemos una geometría plana consistente, y si no se admite tenemos nuevas geometrías no planas también consistentes.

Cantor al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. Sus resultados fueron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse.Y Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", " renegado" y "corruptor de la juventud".

Empezó a interpretar e identificar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) con Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva.Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significó un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.

Reflexiones:

Lo infinitamente pequeño o lo infinitamente grande, las iteraciones hasta el infinito en límites continuos o en fractales parecen conceptos ajenos a lo cotidiano, pero no es así. En las funciones continuas el cálculo infinitesimal (lo infinitamente pequeño) es una herramienta imprescindible para la ciencia y la tecnología, con ella parece que casi conseguimos tocar el propio infinito. Recuerdo la fascinación que consiguieron ejercer sobre mi mente adolescente los límites infinitos y las sumas infinitas de funciones que se aproximan a una función dada (series de Taylor ), así como los cálculos de máximos y mínimos aplicados a cosas cotidianas (como el cálculo del mínimo material con el que construir un cazo de un litro de capacidad). Cuando todos estos cálculos lograban materializarse en algo concreto parecía pura magia.

Toda la revolución cuántica se basa en el cuanto de acción, la mínima acción no puede ser infinitamente pequeña o cero, como suponía la física clásica, y de esa propiedad básica emerge el mundo cuántico y toda su "magia". Por otra parte, se creía infinita la velocidad de la luz, pero de su finitud y de la constatación de que es una magnitud constante, independientemente del sistema de referencia, se ha llegado a la más bella teoría física creada por el hombre: la teoría de la relatividad. En estas dos teorías, en su necesaria conjunción descansa la esperanza de poder desentrañar los secretos más intimos de la materia y del espacio-tiempo.

Para consultar:

-Revista Mundo de las Matemáticas del Instituto Tecnológico de Costa Rica.

-"Dios creó los números, los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia" de Stephen Hawking. Una biografía de los 17 mayores genios matemáticos (entre ellos Cantor) Ed. Crítica. ISBN:978-84-8432-753-0

-Muy interesante y completo, desde varios puntos de vista, el tomo 23 de la Revista Investigación y ciencia (año 2001):"Ideas del infinito".

-Estupenda web (de prueba) de Geocites sobre Cantor y los números transfinitos, por Joseph W. Dauben, de su libro:"George Cantor, Su Filosofía de la matemática y el Infinito" (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1979; rep. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1989).

El último experimento, científicos ante la muerte

2009-01-07T14:31:00.007+01:00

Hace unas semanas leí el libro " El arco iris de Feynman" de Leonard Mlodinow, el autor junto con Stephen Hawking de "Una brevísima historia del mundo". En el libro Mlodinow describe su relación con Feynman durante su primer año en el California Institute of Technology, el lugar de trabajo de aquel físico genial. Con su doctorado bajo el brazo, inseguro e intimidado en un centro tan distinguido y competitivo, Mlodinow encontró en Feynman algo más que un colega experimentado: descubrió un hombre sin prejucicios que atesoraba un maravilloso universo de experiencias e ideas, muchas de las cuales compartió con él precisamente durante los últimos meses de vida de aquel gran genio.

Feynman, aquejado por un tumor terminal se refería a la muerte como "el último experimento". Para una persona que vivía tan intensamente la ciencia toda su vida parecía ser un gran y complejo experimento y la muerte el final y la última etapa de ese experimento. Hace ya un par de años escribí sobre el mismo tema con relación al científico, poeta y ensayista en lengua catalana/valenciana, fallecido en 2005 , Dr. Alfred Giner-Sorolla. Sólo un verdadero investigador podría decir lo que decía él sobre la muerte, que es el último experimento.Un dramaturgo diría, con el mismo sentimiento, que es el fin del último acto.

Se retiró oficialmente en la década de 1990, y se instaló en su tierra valenciana, junto al mar que tanto quería. Pero un científico nunca deja de investigar. En el laboratorio que investigó en sus últimos años era el laboratorio de la vida. En él, ciertamente no podía aplicar el método científico y la mayoría de experimentos son irrepetibles, pero la ciencia también avanza por la observación y él era un gran observador de la realidad. En su libro de ensayo La sombra y los sueños (1993), escribía: "Una cierta curiosidad se mezcla con la angustia y la aprensión, el miedo de perecer. Para el filósofo y el científico constituye[...] una necesidad y un anhelo de explicación que sólo se puede dilucidar en el acto mismo. Es el último experimento que efectúa el hombre de ciencia que se ha pasado la vida haciendo muchos otros." Feynman, después de una intensa vida personal y profesional dominada por su pasión por la ciencia pensaba de la misma manera.

Randy Pausch fue un profesor de informática, de interacción hombre-máquina y de diseño en la Universidad Carnegie Mellon (CMU) en Pittsburgh, Pensilvania, Estados Unidos. En agosto del 2006, a Pausch se le diagnosticó un cáncer de páncreas.El 18 de septiembre de 2007 el profesor Pausch pronunció una conferencia titulada: "Alcanzar realmente tus sueños de la infancia". Se trata de una de las llamadas "últimas conferencias", en las que se propone al ponente que exponga su testamento intelectual. Para Pausch, se trataba, literalmente, de su última conferencia, puesto que los médicos habían confirmado que su cáncer era incurable.El coraje de Pausch y sus reflexiones han convertido el vídeo de la conferencia, disponible en YouTube, en un fenómeno de masas, pues ya ha sido visto por millones de personas.También disponible una versión completa con subtítulos en español y en forma de libro.

A Steve Jobs, co-fundador de Apple junto con Steve Wozniak, también se le diagnosticó un cáncer de páncreas, que se pensaba sería fatal, pero consiguió superarlo.Es conocido también su discurso en la ceremonia de graduación, de junio de 2005, de la Universidad de Stanford. Una pequeña parte del mismo:" A veces la vida te pega en la cabeza con un ladrillo. No pierdas la fé. Estoy convencido que lo único que me mantuvo en pie era el hecho que amo hacer lo que hago. Tienes que encontrar eso que amas; esto aplica en tu trabajo como en tus relaciones amorosas. Una gran parte de tu vida estará enfocada en tu trabajo y la única manera de sentirte realmente satisfecho es creer que lo que haces es un excelente trabajo. La única manera de lograr un excelente trabajo es amando lo que haces. Si no lo encuentras todavía sigue buscando. No te rindas. Como todas las cosas relacionadas con el corazón, sabrás exactamente cuando lo encuentres. Y, como en cualquier gran relación se va poniendo mejor y mejor a medida que el tiempo pasa. Así que sigue buscándolo hasta que lo encuentres, no te rindas. ..[..]."

Richard Feynman consiguió darle, también, una última lección a Leonard Mlodinow sobre cuál es la naturaleza de la ciencia, qué es la creatividad, el amor, la matemática, la felicidad, el arte, Dios, además de su visión sobre las últimas teorías físicas. Ya en el plano personal, mi padre e inspirador de este post me está dando una última lección sobre la alegría de vivir y el buen humor, cuando ya parece que no puede quedar ni esperanza ni alegría ni buen humor. Lo que me recuerda las palabras de un gran sabio sobre la vida " Vívela como tu mejor representación en el gran teatro, nunca una farsa, sabiendo que el público es un ser poderoso y extremadamente benevolente".

El espín, el misterioso giro de las partículas cuánticas

2008-12-27T00:39:00.013+01:00

En la física clásica las partículas como el electrón eran consideradas puntuales. Sin embargo, años antes de que en 1922 Stern y Gerlach realizaran un experimento que permitía deducir que los electrones tienen un momento magnético intrínseco (por giro sobre sí mismo) con sólo dos valores posibles, ya eran conocidas ciertas anomalías (efecto Zeeman anómalo) con relación al desdoblamiento de líneas espectrales esperado. Esto, por muy extraño que pareciera entonces, sólo podía ocurrir si los electrones giraban sobre sí mismos (observación, al final del post) y no eran, por tanto, partículas puntuales. En 1926 los jóvenes físicos Goudsmit y Uhlenbeck propusieron la atrevida idea de que el electrón tiene un momento angular (o cinético) intrínseco (el espín), es decir, que la partícula gira "de alguna manera" sobre sí misma de modo que produce precísamente ese momento magnético anómalo observado.

La ecuación de Dirac:

Durante algún tiempo no se supo cómo incluir ese espín en la ecuación de ondas del electrón, hasta que Dirac trabajando para construir una teoría cuántica-relativista del electrón encontró, sin buscarlo, justamente el mismo campo magnético que surge del modelo de electrón con espín. En sus propias palabras: " No me interesaba incluir el espín en la ecuación de onda, ni siquiera consideré esa cuestión. Fue una gran sorpresa para mi descubrir después que el caso más simple ya implicaba el espín."

La obtención por Dirac de una ecuación que, partiendo de primeros principios, permite deducir el espín fue recibida con enorme expectación entre sus colegas en las navidades de 1927, antes de su publicación en los Proceedings of the Royal Society a principios de 1928. Esta ecuación proporcionaba la explicación de los niveles energéticos esperados para el átomo de hidrógeno (sus líneas espectrales : cada tipo de átomo emite un conjunto único de colores, estas líneas de color o líneas espectrales son la "firma" de los átomos).

El espín es un concepto puramente cuántico, realmente no un giro físico:

Estableciendo con precisión la teoría cuántica del momento cinético (o angular), se halla que los valores pueden ser múltiplos semienteros de h (+1/2h ó -1/2h). Esto que puede ser paradójico, pues sugiere la existencia de una acción menor que h o mínimo cuanto de acción, se resuelve precisamente introduciendo el concepto de espín (o momento cinético intrínseco). Mientras que el momento cinético orbital siempre es entero, el espín puede ser semientero.

El espín es un concepto puramente cuántico: clásicamente, el momento angular intrínseco de una partícula puntual sólo puede ser nulo (un punto no puede girar sobre sí mismo). Con relación a los campos cuánticos el espín está relacionado con el número de componentes del campo. siendo S es espín del campo, el número de componentes será igual a 2S+1. Así, un campo escalar es un campo de un componente, es decir, un operador definido en cada punto del espacio-tiempo, y un solo observable o magnitud medible de tipo escalar; los cuantos asociados son partículas de espín cero. Un campo vectorial, como el campo eléctrico, por ejemplo, es un campo de tres componentes: tres operadores en cada punto del espacio-tiempo (tres observables o magnitudes a medir asociadas cada una a un operador). Los cuantos asociados son partículas de espín 1. Las partículas de espín 1/2 son los cuantos de un campo de dos componentes o campo espinorial. Un campo tensorial es un campo de cinco componentes, como el gravitatorio; los cuantos asociados son partículas de espín 2, como el llamado gravitón.

Partículas de fuerza y partículas de materia:

Gracias a la ley de conservación del momento cinético, no hay problema de "semicuanto de acción": si, en una transición, el momento cinético es semientero en el estado inicial, lo es también en el estado final y, por tanto, toda interacción implica un múltiplo necesariamente entero del cuanto de acción. Esta ley de conservación del carácter semientero del momento cinético indica que las partículas de espín semientero encierran una propiedad, en cierto modo indestructible. De hecho, todas las partículas de materia, los fermiones, son partículas de espín semientero, mientras que los cuantos de los campos de interacción o fuerza, los bosones, son partículas de espín nulo o entero. Respecto a los fermiones, el principio de exclusión de Pauli manifiesta la impenetrabilidad de la materia. Mientras que dos o más bosones pueden estar en el mismo estado y la magnitud de la fuerza que representan aumenta, dos fermiones no pueden estar en el mismo estado a la vez según el principio de exclusión de Pauli. Los bosones son partículas de fuerza y los fermiones de materia.

El misterioso "giro" de las partículas cuánticas las convierte en fermiones o partículas de materia, o en bosones o partículas de fuerza. En partículas impenetrables o en partículas capaces de sumar su fuerza para dar mayor o menor intensidad a las interacciones de la materia.

Es recomendable leer el post:La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert.
También el post sobre el condensado Bose-Einstein.

(**) Observación importante: En un principio la explicación lógica era pensar en un giro físico de las partículas que originaría el momento observado, pero la explicación correcta era la introducción de un número cuántico adicional con sólo dos valores posibles, +1/2 h y -1/2 h. Realmente el espín es una propiedad puramente cuántica que se manifiesta como un giro, con su momento correspondiente asociado. No es físicamente un giro de la partícula.

Números primos, números de una sola pieza

2008-12-16T12:05:00.007+01:00

Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.

En cierta forma, estos números podríamos decir que son "de una pieza", y todos los demás números naturales se pueden construir a partir de ellos mediante un proceso llamado factorización. Los primeros números primos menores de cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cada uno de ellos sólo se puede escribir como: 2 = 2, 3 = 3,..., 29 = 29,..., 67=67, ..., etc. Mientras que el resto de números naturales necesitan expresarse en función de los números primos: 4 = 2x2, 9 = 3x3, 6 = 3x2, 8 = 2x2x2, ...,30 = 2x3x5, etc.

Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es: cantidad de números primos = (número)/Logaritmo Neperiano(número). Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Lagunas con ausencia de números primos:

Entre 1 y 100 existen 25 números primos, como hemos visto, y en la lista observamos grupos de números compuestos, una especie de lagunas con ausencia de números primos: del 24 al 28 y del 90 al 96. Entre el 100 y el 200 hay 23 primos: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199. Y encontramos lagunas como la del 182 al 190. Nos podemos preguntar si existen lagunas más grandes entre números primos. A simple vista, parece que no vamos a encontrar ninguna de estas lagunas de forma clara con una suficiente cantidad de números, pero no es así. Podemos encontrar tantas como queramos y de la longitud que deseemos, para ello utilizaremos la siguiente expresión (pueden encontrarse muchas más): n!+2 , desde 2 hasta n. Vamos a ver algunos ejemplos: para n=3, 3!=3x2x1=6; 6+2=8 y 6+3=9. Hemos encontrado la primera laguna formada por el 8 y el 9. Seguimos con n=4: 4!=4x3x2x1=24; 24+2=26, 24+3=27 y 24+4=28. Hemos encontrado tres números compuestos seguidos, pero con esta expresión podemos encontrar cuantos queramos, por ejemplo 101 números seguidos (al menos): 102!+2, 102!+3, 102!+3, ..., 102!+101,102!+102.

¿De cuántas piezas están hechos los números?

Volviendo al título del post, se pueden ver los números compuestos como formados por piezas de números primos. Un número compuesto cualquiera, por ejemplo, el 6 es igual al producto de dos números primos 2x3, podemos considerarlo como formado por dos piezas, la pieza 2 y la pieza 3. En cambio los números primos, como el 7, están formados por sólo una pieza. En un símil musical el número primo podría considerarse como armónico principal y único, y el número compuesto como una composición de armónicos primos que formarían su espectro o descomposición factorial.

Analizando la factorización de un número como producto de números primos, podríamos imaginar que cualquier número está formado por tantas piezas como factores primos lo componen. Se observa como curiosidad que los números del orden de 100 estarían formados, como media, por un producto de 2,7 números primos, los del orden de 1000 por un producto de 2,96 números primos, los de 10000 por un producto de 3,16 números, los de 100000 por 3,3, los de 1000000 por 3,42 y los de 10000000 por 3,64. Observamos que la cantidad de "piezas" necesarias para formar cualquier número aumentan muy lentamente, y ese aumento, además, decrece. Es un tanto asombroso que mientras un número de 3 cifras necesita tres primos para factorizarse (está hecho de tres piezas), uno de 10 cifras sólo necesita cuatro (está hecho de cuatro piezas). Claro que al hablar de piezas estas son tan dispares como el 3 y el 2000003, ambos son números primos.

En un extraño (e imaginario) mundo cuántico formado por números enteros, sería fácil descubrir los números primos. Todos los números compuestos se verían como una borrosa superposición de armónicos primos mientras que los números primos aparecerían claros y estables con una sola configuración fácilmente distinguible. Algo de esto debe le debe ocurrir a Daniel Tammet, un joven autista inglés con una sorprendente capacidad para los números. Cuando piensa en ellos ve formas, colores y texturas que le permiten distinguirlos de una manera asombrosa. Al multiplicar dos números ve dos sombras; al instante aparece una tercera sombra que se corresponde con la respuesta a la pregunta. Cuando piensa en algún número sabe reconocerlo como primo o compuesto. Estuve viendo el reportaje sobre su vida, sus facultades como matemático y su prodigiosa memoria. Sus capacidades son asombrosas. En una semana logró aprender, desde cero, suficiente islandés (un idioma catalogado como muy difícil) para mantener perfectamente una entrevista en la televisión de Islandia.

A alguien le podría parecer que el estudio de los números primos no tiene ninguna utilidad, desde luego se equivoca (ojo, el algoritmo de encriptación RSA nos permite las transacciones fiables). Cualquier saber matemático, por muy absurdo que nos parezca está relacionado con infinidad de campos aparentemente inconexos. Cualquier avance en el conocimiento sobre los números primos, por ejemplo, podría ser decisivo para resolver algún problema del campo más increible que se nos ocurra, tanto matemático como físico. La realidad es conexa y conforme la vamos comprendiendo vemos que el conocimiento que tenemos de ella también lo es.

Una novela sobre investigación de números primos:

Sobre los números primos recuerdo haber leído una novela interesantísima titulada "El tío Petros y la conjetura de Goldbach". La trama discurre a través de las vicisitudes de un matemático obsesionado por comprobar la famosa conjetura de Goldbach sobre los números primos, uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Confieso que logró atraparme al igual que le ha pasado a infinidad de lectores. Es muy entretenida y recomendable.

... Mi agradecimiento a la página Descartes, del Ministerio de Educación, que me ha facilitado los cálculos de factorización de grandes números que he necesitado.
... Recomiendo visitar esta magnífica página sobre números primos (en inglés).

Nuestro amigo Tito Eliatron nos envía dos interesantísimos enlaces de su blog a una charla del matemático, Medalla Fields, Terry Tao: Primera parte de la charla, segunda parte. Gracias Tito.

Relatividad y espaciotiempo

2008-12-01T13:14:00.004+01:00

Hay un antes y un después de la teoría de relatividad especial de Einstein (1905). Es significativo lo que dice Leslie Pearce Williams, profesor Emeritus de la Historia de la Ciencia en la Cornell University de New York, en el prólogo del excelente libro (recopilación de textos) La teoría de la relatividad: sus orígenes y su impacto: “Antes de 1905 era posible explicar la ciencia al profano utilizando términos verbales que, aunque difusos, podían entenderse. Desde entonces esto resultaba ya imposible, porque la cualidad peculiar de la teoría especial de la relatividad era que violaba todos los principios del sentido común… a partir de entonces los modelos ya no eran mecánicos sino matemáticos”.

El tiempo y el espacio absoluto de la mecánica clásica de Newton pasaron a la historia cuando se demostró que no existía realmente una referencia espacial inmóvil, una especie de sustrato que lo llenaba todo llamado “éter lumínico”, ni existía un tiempo universal. Cada sistema pasaba a tener un tiempo y pasaba a ser la referencia para la medida de los demás. Bien es verdad que esto sólo se puede apreciar en los sistemas que se mueven a velocidades no despreciables respecto a la velocidad de la luz, por lo que cualquier medición que realizemos en nuestra vida cotidiana no se ve afectada por las correcciones relativistas.

Trescientos años antes, el gran Galileo Galilei en su notable principio de relatividad ya había observado que no existe modo alguno de distinguir localmente el movimiento uniforme, es decir el movimiento no acelerado, respecto a algún supuesto absoluto inmóvil. Mucho antes que Einstein utilizara los trenes en sus experimentos mentales, de forma similar, Galileo pensaba en la cabina principal bajo la cubierta de un gran barco. Allí no habría forma de distinguir, en los movimientos de los animales encerrados, si el barco permanecía quieto o en movimiento uniforme.

Mucho después, ya en el siglo XIX, el desencadenante de la revolución que supuso la teoría de la relatividad fueron una serie de experimentos que se realizaron en la segunda mitad de la centuria para detectar las corrientes del “éter” sobre la superficie de la Tierra y la influencia de las mismas sobre la velocidad de la luz. El éter era un supuesto material que se creía necesario para la propagación de las vibraciones de la luz en el vacío. En 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley realizaron en Cleverland (Ohio) un experimento que desde entonces ha adquirido la categoría de clásico. Sus resultados fueron negativos, la velocidad de la luz medida a favor y en contra del supuesto éter resultó ser la misma, y aunque poco después el físico holandés H. A. Lorentz logró salvar la existencia del éter a costa de postular la contracción de los objetos al moverse a través del éter, la vieja concepción del tiempo y el espacio absolutos había sido herida de muerte. La ciencia contemporánea no podía explicar la razón de que la velocidad de la luz fuera siempre la misma, tanto si emanaba de un cuerpo en reposo como si lo hacía de un cuerpo moviéndose a gran velocidad.

Poincaré y Einstein descubrieron, independientemente, que las ecuaciones de Maxwell, relativas a la propagación de las ondas electromagnéticas (la luz es una onda electromagnética) también satisfacen un principio de relatividad similar al galileano sobre su invarianza, al pasar de un sistema de referencia en reposo a uno en movimiento (Lorentz también había abordado esta cuestión hacia 1895).

Einstein tuvo que elegir entre el principio de relatividad (invarianza de las leyes físicas en cualquier sistema de referencia en reposo o en movimiento uniforme) y la física de Galileo-Newton. Si bien estas leyes se habían verificado, siempre había sido a velocidades muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y eso le dio la clave: la relatividad válida debía ser la inherente a las ecuaciones de la propagación de la luz de J.K.Maxwell.

Poco después de que Einstein publicara el artículo en el que describía su teoría especial de la relatividad (1905) Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento, su antiguo profesor Hermann Minkowski ponía la guinda que faltaba. En un histórico discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el 21 de septiembre de 1908 pronunció una célebre frase: “Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad”.

La relatividad especial de Einstein mantiene el principio según el cual las leyes de la física se expresan de la misma manera en dos referenciales en movimiento rectilineo uniforme, en relación uno con el otro. Pero, para que la velocidad de la luz sea la misma en los dos referenciales, como de hecho y según todos los experimentos así ocurre, hay que renunciar al caracter absoluto del tiempo y del espacio (de su métrica espacial). El espacio ya no es independiente del tiempo, ni éste lo es del espacio. Además en las expresiones que ligan los dos conceptos aparece una constante ligada a ambos de forma indisoluble: la velocidad de la luz. Esto hace que las longitudes medidas en un sistema ya no sean invariantes y dependan de la velocidad del mismo, y lo mismo ocurre con los tiempos.

Nuestra percepción basada en el espacio de tres dimensiones que conocemos, con un tiempo independiente del espacio no es exacta. Es válida para nuestro mundo cotidiano (de bajas velocidades comparadas con la de la luz), pero dista de ser la realidad. Hasta tal punto que lo que conocemos como la paradoja de los gemelos no es ni siquiera una paradoja en el nuevo marco del espaciotiempo. En esta paradoja se explica que un gemelo se queda en la tierra mientras el otro sale a viajar, en una nave interplanetaria a velocidades cercanas a la luz, y al volver al cabo de un año encuentra a su hermano veinte o treinta años mayor que él. En la geometría relativista del espaciotiempo de Minkowski, que es una geometría no plana (no euclidiana), el intervalo de tiempo del gemelo que se queda es mayor que los dos intervalos temporales (ida más vuelta) del gemelo que viaja. El gemelo que viaja toma “un simple atajo” en el espaciotiempo. El camino temporal más recto, en el espaciotiempo, no consiste en quedarse en tierra sino en viajar a velocidades elevadas, aunque entonces también intervienen aceleraciones y esto queda dentro del marco de la relatividad general.

Texto extraído de mi columna mensual de Libro de notas: Ciencias y letras.

La relatividad general y los extraños rayos de luz fantasma

2008-11-21T11:14:00.010+01:00

La visión que tenemos de una esfera desde cualquier punto del espacio es invariante, es exactamente la misma, pues la esfera es simétrica respecto a la rotación sobre cualquiera de sus infinitos ejes de simetría. Cada uno de los puntos de observación representa un referencial diferente y la invariancia observada se corresponde con una simetría llamada esférica.

Galileo Galilei, en la primera mitad del siglo XVII, utilizando como ejemplo un barco navegando a una velocidad constante en un mar calmado, describió la denominada invariancia galileana según la cual, y gracias a una simetría subyacente, las leyes fundamentales de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales (movimiento uniforme sin aceleraciones). No se advierte el movimiento, todo transcurre dentro del barco como cuando está parado. Este principio se aplica a la mecánica clásica newtoniana, en la cual las longitudes y tiempos no son afectados por el cambio en la velocidad y se amplió con la relatividad especial de Einstein donde las longitudes y los tiempos ya no son invariantes.

En física, detrás de las invariancias existen una serie de simetrías, en este caso más abstractas que la esférica, que comportan la existencia de leyes de conservación. Eso es lo que establece un bello teorema matemático, debido a Emmy Noether, y, llamado por ello teorema de Noether: A la invariancia respecto a una traslación le corresponde la ley de conservación del momento lineal, a la invariancia ante una rotación la ley de conservación del momento angular y la independencia ante cualquier referencial temporal se asocia a la ley de conservación de la energía.

Para los sistemas acelerados o sujetos a la acción de un campo gravitatorio, Einstein amplió su teoría de relatividad especial dando lugar a una nueva teoría de la gravitación llamada relatividad general, que generalizaba la teoría de gravitación de Newton.Las simetría e invariancias en el ámbito de esta teoría siguen cumpliendo, lógicamente, el teorema de Noether, pero cada vez podemos encontrar fenómenos más extraños y alejados del sentido común.

Uno de estos fenómenos tiene que ver con el título de este post, una especie de luz "fantasma" que aparece y desaparece según el punto de referencia desde el que observemos. Así, consideremos un electrón en caída libre en un campo de gravitación creado por un astro pesado. Para un observador situado en el astro, este electrón parece acelerado y, por tanto, irradia luz. Además, se puede detectar en el suelo esta luz que precede al electrón en su caída, por medio de una célula fotoeléctrica, o incluso de un fotomultiplicador que cuente uno por uno los fotones.

Para un observador en caída libre con el electrón, éste aparece en reposo y, por tanto, no irradia luz. Aunque se ponga ante el electrón un fotomultiplicador, no registrará nada, no detectará luz y no contará fotones. Dicho de otra manera, la luz detectada en un referencial es inexistente en otro. Esta paradoja se debe a que la energía no es un invariante relativista. La energía que transportan los fotones tiende a cero cuando se pasa progresivamente del referencial relacionado con el astro al relacionado con el electrón. La longitud de onda de la luz que está relacionada directamente con la energía de los fotones tiende al infinito (su frecuencia tiende a cero: Energía= h*frecuencia) y las líneas de campo toman la forma de estrella que se les conoce cuando provienen de una carga inmóvil.
Volviendo al símil geométrico:

Si en lugar de una esfera observamos un disco superfino, existen una serie de puntos de observación para los cuales el disco desaparece, sin embargo desde los puntos que pasan por la recta perpendicular al plano del disco la superficie observada será máxima. A diferencia de la esfera, la simetría del disco no es esférica y los puntos de observación en el plano del disco y en el plano perpendicular al mismo no son intercambiables.De la misma forma no son intercambiables los referenciales en el astro y en el sistema de caída libre que acompaña al electrón. En ambos casos es una cuestión de simetrías más o menos especiales y encubiertas, vemos o no vemos el disco por una razón, en cierta forma similar a la posibilidad de observar o no observar los rayos de luz.

Ciencia de día, ciencia de noche

2008-11-12T13:34:00.009+01:00

Se suele imaginar que la actividad investigadora de los científicos es una labor exclusiva de la mente racional y metódica. Algo lejano de lo que no se suele hablar demasiado y al final, precisamente por eso, nos parece todavía más extraño y ajeno .

Hace tiempo leí sobre la curiosa manera que tenía el gran Dirac de juguetear con las ecuaciones, de probarlas y asociarlas de forma no siempre tan racional y metódica como se podría suponer. Sin embargo, esta forma, aparentemente irracional de proceder resulta bastante más frecuente de lo que se suele pensar y me llamó la atención.Se acerca, realmente, a la actividad del artista y deja un sitio importante a la intuición y a la labor creativa. Einstein decía:"Si queréis saber cómo funcionan los científicos, no escuchéis lo que dicen; mirad lo que hacen."

Sobre este tema he leído, recientemente, unas preciosas palabras muy esclarecedoras del Premio Nobel de Medicina, en 1965, François Jacob:"(1)... En los artículos científicos, la razón avanza por una vía regia que va de la oscuridad a la luz. Nada de errores. Nada de falsos juicios. Nada de confusión. Nada que no sea un razonamiento perfecto, y sin la presencia de ningún fallo.

Y, sin embargo, cuando examinamos más de cerca lo que hacen los científicos, constatamos con sorpresa que la investigación supone en realidad dos aspectos que alguien ha denominado ciencia de día y ciencia de noche. La ciencia de día pone en juego razonamientos que se articulan como engranajes, como resultados finales que tienen la fuerza de la certeza. Se admira en ellos la majestuosa disposición, propia de un cuadro de Leonardo da Vinci o de una fuga de Bach. Transitamos por ellos como por un jardín a la francesa. Consciente de su proceder, orgullosa de su pasado, segura de su porvenir, la ciencia de día avanza por la luz y la gloria.

La ciencia de noche, por el contrario, marcha a ciegas. Duda, tropieza, recula, suda, se despierta sobresaltada. Dudando de todo, se investiga así misma, se pregunta, se corrige sin cesar. Es una especie de taller de lo posible, donde se elabora lo que va a ser el material de la ciencia. Donde las hipótesis se mantienen en forma de presentimientos vagos, de sensaciones brumosas. Donde los fenómenos no son aún más que acontecimientos solitarios sin relación entre ellos. Donde los proyectos sobre experimentos apenas toman cuerpo. Donde el pensamiento camina a través de sendas sinuosas, de callejuelas tortuosas, las más de las veces sin salida.

A merced del azar, el espíritu se agita en un laberinto, bajo un diluvio de mensajes, en busca de un signo, de un guiño, de una aproximación repentina. Como un prisionero en su celda, el espíritu no para de dar vueltas, busca la salida, un resplandor. Sin solución de continuidad, pasa de la esperanza al desespero, de la exaltación a la melancolía. Nada permite decir que la ciencia de noche pasará alguna vez al estado de día; que el prisionero saldrá de las sombras. Si esto sucede será de manera fortuita, como por capricho. De improviso, como por generación espontánea. No importa dónde, ni cuando, como un rayo. Lo que guía entonces al espíritu no es la lógica. Es el instinto, la intuición. Es la necesidad de ver claro. Es la obstinación de vivir en el interminable diálogo interno, en medio de innumerables suposiciones, acercamientos, combinaciones, asociaciones que, sin cesar, atraviesan el espíritu.

Un rayo de fuego a veces rompe la oscuridad, alumbra de repente el paisaje con una luz deslumbradora, aterradora, más fuerte que mil soles. Después del primer choque empieza un duro combate con los hábitos del pensamiento. Un conflicto con el universo de conceptos que regula nuestros razonamientos. Aun nada permite decir si la nueva hipótesis cambiará su primera forma de boceto burdo para refinarse o perfeccionarse. si sostendrá la prueba de la lógica o será admitida en la ciencia de día.

...Pero para que sea aceptado un trabajo y admitida una nueva forma de pensar, hay que depurar la investigación de toda escoria afectiva o irracional. Quitarle todo resto personal, todo olor humano. Recorrer la vía real que lleva de una juventud balbuceante a una madurez desarrollada. Reemplazar el orden real de los acontecimientos, de los descubrimientos, por lo que aparece como orden lógico, el que se debió haber seguido si, al principio, la conclusión hubiera sido conocida. Hay un rito en la manera de presentar los resultados científicos. "

Yo me siento más cerca de esa ciencia de noche, más humana y más verdad. En mis modestas investigaciones he experimentado lo que tan bien describe Jacob. Mi ciencia apenas ha salido de la noche, permanece en su celda, buscando todavía la salida y el resplandor definitivo que la transforme con la apariencia de ciencia de día.

Está muy bien cumplir con el rito de presentar la ciencia de forma clara, metódica y ordenadamente, pero en un viaje no sólo importa el destino. El largo viaje, los tropiezos, los extraños compañeros del camino, las alegrías y las penas enriquecen el resultado y al viajero, y prescindir, por completo de ellos, empobrecen a la ciencia y la hacen menos cercana y humana.

(1) Del libro: "El ratón, la mosca y el hombre".