Gluon con Leche

Fotografía de los módulos de la misión Apolo

2009-07-17T23:33:00.005+02:00

La sonda Lunar Reconnaissance Orbiter fue lanzada el pasado 18 de Junio, con la misión de reconocer la superficie lunar e identificar posibles lugares para un futuro alunizaje. Entre tanto, también ha hecho unas cuantas fotografías, entre las que se incluyen los lugares de alunizaje de las misiones Apolo.

Esas fotos se pueden ver en la web de la misión.

y en ellas, aunque no son espectaculares, se puede apreciar la sombra que hacen los módulos lunares. Aunque no faltará quien diga que es un trozo de cartón piedra que han puesto en la luna con la forma del módulo lunar.

Calor, efecto invernadero y el acero fundido del 11S

2009-05-27T17:34:00.045+02:00

He aquí una entrada laaaaaarga como un día sin pan, llena de matematicas y ecuaciones. Si no te apetece una lectura tan dura, entonces te doy permiso para ir directamente al ultimo apartado.

Absorción y emisión de calor en función del tiempo

Un material se puede presentar en tres fases distintas: en un gas, los átomos o moléculas se mueven libremente por todo el espacio que tienen disponible, sin apenas interaccionar entre sí. En un líquido, las moléculas se mueven, aunque interaccionan entre ellas levemente, dándole cierta consistencia al material. En un sólido, las moléculas y átomos ocupan lugares fijos, y su movimiento se reduce a una vibración en su posición de equilibrio.

En todos los casos, la temperatura del material no es sino una medida promedio de la energía cinética que poseen las moléculas del material. El movimiento de estas moléculas puede ser agilizado con tal de aportar energía e igualmente se puede ralentizar si el material libera energía.

Existen tres mecanísmos básicos para el intercambio de energía:

Conducción: La conducción de calor se realiza por contacto entre dos materiales, o en un mismo material, el calor fluye por zonas de distinta temperatura.

Convección: Es el transporte de calor a través de fluidos y gases. El aire caliente asciende de una forma caótica, mientras el aire frío desciende.

Radiación: La emisión de radiación electromagnética de un cuerpo es una forma de disminuir su temperatura, mientras que la absorción de esta misma radiación puede resultar en un aumento de la temperatura.

Todos estos procesos se pueden dar por separado o en conjunto para un material, con el resultado neto de una energía o calor que ha sido absorbida o liberada.

(Q_a-Q_l)=MC_e(T_f-T₀)

donde Q_a representa el calor absorbido por cualquiera de los tres procesos anteriores, y Q_l el calor liberado por cualquier de los tres mismo procesos. Si una masa M se encuentra inicialmente a una temperatura T₀, el balance de calor Q_a-Q_l determina hacia donde cambiará su temperatura. Una mayor absorción que liberación de energía resulta en un balance positivo de calor, y por tanto una temperatura final T_f mayor que la inicial T₀. Y al contrario, una balance calorífico negativo equivale a una disminución de la temperatura final.

El cambio de temperatura sin embargo, no es instantáneo, sino que requiere un cierto tiempo que depende de la masa del material, y de su capacidad calorífica. Estos parámetros influyen en la velocidad del cambio de temperatura. La ecuación no especifica explícitamente como tener en cuenta el tiempo de intercambio de calor, pero se puede deducir a partir de ella.

Derivando la ecuación respecto del tiempo t, se obtiene

una ecuación diferencial de primer orden. Por definición, la velocidad con que el calor se absorbe o libera es la potencia medida en watios a la que se está ejecutando el proceso (P=dQ/dt). En el caso más general, esta potencia puede no ser constante, sino depender del tiempo, o incluso de la temperatura a la que se encuentra la masa. Por su lado, el calor específco es una propiedad intrínseca del material e independiente del tiempo, pero puede depender de la temperatura a la que se encuentra el material.

Dada una condición inicial T(t=0)=T₀, esta ecuación se puede resolver para hallar la evolución temporal de la temperatura del material. Sin embargo, esta ecuación en su caso más general no tiene solución analítica, sino que es necesario hacer aproximaciones, o resolverla numéricamente.

Ley de Stephan - Boltzmann

La definición de cuerpo negro es aquel capaz de absorber completamente toda la radiación que le llega. Un cuerpo así, al no reflejar nada de radiación, se presenta literalmente de color negro. Esta absorción de energía implica que el cuerpo adquiera una temperatura determinada, haciendo que sus moléculas vibren. Si se elimina la fuente de radiación, este movimiento vibratorio no será permanente, sino que el mismo movimiento produce que las moléculas emitan radiación. Así pues, esto constituye una liberación de calor cuya consecuencia es la disminución de temperatura del cuerpo. Esta emisión de calor de un cuerpo negro fue caracterizada entre finales del Siglo XIX, e inicios del XX.

Fruto de esta caracterización, existe la Ley de Stephan - Boltzmann, que establece que la densidad de potencia, o potencia por unidad de área en la emisión de radiación de un cuerpo a una temperatura T es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura.

P_sb=σ T⁴

La constante de proporcionalidad σ es la constante de Stephan - Boltzmann, y su valor es σ =5.67·10^-8 W/m²K⁴.

Emisividad ε

Un cuerpo negro capaz de absorber toda la radiación que le llega es una idealización. Los materiales reales son en realidad grises, lo que quiere decir que no son tan eficientes a la hora de absorber energía radiante. De igual forma, estos cuerpos grises tampoco son igual de eficientes en la libreación de calor como lo son los cuerpos negros. Es por ello que se define un parámetro de emisividad ε, un valor que va entre 0 y 1, siendo 1 el correspondiente a un cuerpo negro. Así pues, un cuerpo gris va ser más lento en la absorción de radiación, al igual que en su liberación.

Geometría

La ley de Stephan - Boltzmann relaciona la temperatura de un cuerpo con la densidad de potencia de emisión de calor. Esto implica que para una masa dada, esta potencia tiene una dependencia con la geometría. Más concretamente, la ley establece cómo la energía escapa a través de su superficie. Para hallar la potencia total con la que un cuerpo está emitiendo energía, se debe tener en cuenta su superficie. Para una misma masa, no emitirá lo mismo si tiene forma de esfera o de cubo.

P=A·P_sb

Ejemplos simples

Veamos unos ejemplos de una situaciones simples para estudiar cómo varía la temperatura con el tiempo de una masa M que en el instante t=0 posee una temperatura T₀.

Potencia constante

El primer ejemplo es el más simple: el cuerpo pose un equilibrio entre la cantidad de calor que está absorbiendo a una potencia constante P_a, y liberando con potencia también constante P_l. Supongamos que su capacidad calorífica es igualmente constante e independiente de la temperatura a la que se encuentra el cuerpo. En esta situación, la ecuación queda

P_a-P_l=MC_e·dT/dt

y es una ecuación diferencial integrable cuya solución general es

T(t)=(P_a-P_l)t/(MC_e)+ B

siendo B una constante que se calcula usando la condición inicial T(t=0)=T₀, quedando la expresión por tanto:

T(t)=(P_a-P_l)·t/(M·C_e)+ T₀

Esta expresión es una recta. La pendiente positiva o negativa(es decir, si la masa se calienta o se enfría) depende del balanace neto de calor que se está absorbiendo o liberando, como es lógico, y por otro lado, la pendiente, o velocidad del calentamiento o enfriamiento depende tanto del balance calorífico, como de la masa y su calor específico. Mayor cantidad de masa produce que esta velocidad sea más lenta, dado que el cuerpo le hace poseer más inercia térmica, o resistencia a cambiar su temperatura.

Intercambio de calor con un foco de tempertura

El ejemplo anterior, si bien simple, puede ser inapropiado en algunas circunstancias, dado que la solución implica que un objeto podría enfriarse por debajo del cero absoluto.

Supongamos ahora que nuestra masa está en contacto con un foco de temperatura constante T_F. El foco intercambia calor con el cuerpo: si el cuerpo está más frío, le cede calor, mientras que si el cuerpo está más caliente, lo absorbe de él. En cualquier caso, una propiedad del foco es que es capaz de mantener su temperatura sin ser afectado por el intercambio.La expresión de este intercambio puede ser más o menos complicada, pero por simplicidad, podemos asumir que el intercambio es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el foco, lo cual no es más que la Ley de Newton para la transmisión de calor

(P_a-P_l)=P_F =K(TF-T)

En esta expresión, cuando el cuerpo se halla más caliente que el foco, P_F es negativo, es decir, el cuerpo libnera energía que absorbe el foco, mientras que cuando la temperatura es menor que la del foco, P_F es positivo, significando que el cuerpo está absorbiendo calor del foco. La ecuación del calor queda ahora:

K(T_F-T)=MC_e·dT/dt

siendo K un factor de proporcionalidad que depende de la capacidad del foco para intercambiar calor. Es una ecuación diferencial también integrable, cuya solución general es una suma de la solución a la ecuación homogénea y la solución particular a la no homogénea.

La solución general es una exponencial decreciente

Th=B·e^(-Kt/MCe)

mientras que la solución particular es una constante

Tp=T_F

La solución general es la suma de ambas:

T(t)=B·e^(-Kt/M·Ce)+T_F

con una constante B que se puede calcular con la condición inicial T(0)=T₀

B=T₀-T_F

T(t)=(T₀-T_F)·e^(-Kt/M·Ce)+T_F

Esta expresión muestra, como era de esperar intuitivamente, que el cuerpo variará su temperatura hasta igualarla con la del foco. En ambos casos, la velocidad de enfriamiento o calentamiento será más rápida al incio, cuando la diferencia en temperatura es mayor, y se frenará, para tender asintóticamente al valor T=T_F cuando t tienda a infinito como se puede ver en la figura.

Figura: Evolución de la temperatura según el intercambio de calor con un foco de temperatura constante

Enfriamiento por radiación

Supongamos que nuestra masa M presenta una superficie A, y que posee una emisividad ε . El cuerpo se halla en vacío, de forma que su única forma de enfriarse es por radiación, siguiendo la Ley de Stephan - Boltzmann. Con estas aproximaciones, la ecuación del calor queda de esta forma:

(P_a-P_l)=-AεσT⁴=MC_e·dT/dt

Esta ecuación también puede ser resuelta analíticamente para obtener la solución general:

donde B es una constante, que se puede calcular de nuevo usando la condición inicial T(0)=T₀.

B=-T₀^-3/3

Reordenando términos, se llega a la expresión:

Este resultado implica que la temperatura decae con la raíz tercera del tiempo. El enfriamiento es más rápido cuanta mayor es la temperatura, aunque al bajar el ritmo decrece notablemente. La temperatura tiende asintóticamente a 0 cuando t tiende a infinito.

Figura: Enfriamiento por radiación según la ley de Stephan - Boltzmann

Ejemplos menos simples

Enfriamiento por radiación y una aportación constante

Las situaciones anteriores son simples, pero nada evita que se puedan dar simultáneamente. Por ejemplo, supongamos que una cuerpo a una temperatura T₀ se enfría según la Ley de Stephan - Boltzmann a la par que absorbe energía de una forma constante. La ecuación del calor se expresa entonces como:

P_a-AεσT⁴=MC_e·dT/dt

Ahora la solución no se puede encontrar por medios analíticos, sino que es necesaria la integración numérica, como por ejemplo la integración en cuatro pasos de Runge - Kuta. En todo caso, sin llegar a resolver la ecuación, se puede realizar una predicción sobre resultado final. A altas temperaturas, la Ley de Stephan - Boltzmann dice que la liberación de calor será a un ritmo elevado. Con una dependencia con la cuarta potencia de la temperatura, es probable que su efecto sea mayor que lo que pueda aportar la absorción constante, por lo que es de esperar un balance neto negativo, y que por tanto el cuerpo se enfríe.

En el caso contrario, si la temperatura es baja, la aportación constante bien puede compensar o incluso superar el enfriamiento por radiación, haciendo que la muestra se caliente. Así, tiene que existir un punto medio en el cual exista un equilibrio, y por tanto la variación de temperatura sea nula, porque el balance neto calor también lo es. Esa temperatura se puede calcular igualando el primer término de la ecuación a cero.

P_a-AεσT⁴=0

P_a =AεσT⁴

y despejando T,

T=(P_a/(Aεσ))^1/4

será la temperatura de equilibrio. Dada una condición inicial, la masa se enfriará o calentará hasta alcanzar esa temperatura de equilibrio.Hay que hacer notar que esta temperatura de equilibrio no depende del cuerpo en sí (a excepción de su área radiante, a través de la Ley de Stephan - Boltzmann). Es decir, cuerpos hechos de un material distinto, incluso con distinta masa, pero con igual superficie llegarán a la misma temperatura de equilibrio (si bien el tiempo empleado en ello sí que dependerá de su masa y su capacidad calorífica).

Figura: Liberación de calor por radiación, junto con una absorción constante

Cuando la temperatura del cuerpo es alta, el ritmo de absorción de calor puede ser despreciable frente a su liberación por radición. Así, no hay diferencia con el caso de liberación por radiación. Sin embargo, al bajar la temperatura, la contribución de la absorción se hace notar, y el enfriamiento se ralentiza sustancialmente.

Enfriamiento por radiación y aportación de un foco

Supongamos ahora que el cuerpo está en contacto con un foco que mantiene una temperatura constante. La ecuación se escribirá ahora como

K(T_F -T)-AεσT⁴=MC_e· dT/dt

De nuevo, esta ecuación debe ser resuelta numéricamente. En el anterior caso, la absorción constante de calor por parte del cuerpo frenaba la caída de temperatura; ahora la diferencia de temperatura entre el foco y el cuerpo lo que hace es ayudar al enfriamiento mientras la temperatura sea mayor que la del foco porque el foco le roba calor al cuerpo. La temperatura final que se alcance, sin embargo, no será la temperatura del foco, sino una tal que haya un equilibrio entre la cantidad de calor que el foco intercambia con el cuerpo, y lo que éste liberará por radiación. De nuevo, se puede estimar cual será esta temperatura igualando la primera parte de la ecuación a cero:

K(T_F-T)= AεσT⁴

Dado que el segundo término es siempre positivo, eso implica que K(T_F-T) también debe serlo, y por tanto T es menor que T^F, la temperatura de equilibrio será menor que la temperatura del foco. Resolver una ecuación de cuarto grado no es sencillo por medios analíticos, por lo que se puede recurrir a métodos numéricos, o también métodos gráficos.

Figura: Balance neto de calor que absorbe o libera el cuerpo en función de su temperatura

La figura muestra la contribución al balance calorífico del foco (línea punteada roja), la ley de Stephan - Boltzmann (línea punteada azul), y el balance total de potencia absorbida y liberada (amarilla). Como se puede ver, este balance se hace nulo a una temperatura menor que la del foco.

Figura: Liberación de calor por radiación, e intercambio de calor con un foco de temperatura constante

Masa, emisividad y calor específico variables

La mayoría de las características de los materiales suelen presentar variaciones con la temperatura, y tanto el calor específico como la emisividad pueden presentar esta variación. Su inclusión en las ecuaciones puede ser necesaria para un cálculo afinado, y que poducirá distintos efectos en los casos anteriormente tratados: una emisividad más alta implica una mayor liberación de calor en forma de radiación. En cambio, un mayor calor específico implica que la variación de temperatura, ya sea para aumentar o disminuirla, será más lenta.

La masa en cambio, debería ser siempre una constante. Es una buena suposición que las pérdidas de masa por evaporación o sublimación son despreciables frente a la masa total del cuerpo bajo estudio. Materiales idénticos, pero con distintas masas dan lugar a que el proceso de absorción o liberación de calor sea más lento para mayores masas, al igual que ocurre con el calor específico. Pero en princpio es perfectamente asumible que un cuerpo no perderá ni ganará masa sólo por efecto de la temperatura.

Cambios de fase

Cuando un material cambia de fase, debe absorber o liberar un calor extra que le permite realizar la transición. Durante el tiempo que dura este cambio de fase, la temperatura del material permanece constante, y sólo cuando ha terminado puede seguir calentándose o enfriándose.

El calor que necesita absorber o liberar un material que pasa de líquido a sólido o viceversa, es llamado calor latente l, que se suele expresar en J/kg. Es el calor necesario para cambiar de fase un kilo de material. Si el material está recibiendo una potencia constante con el tiempo, entonces el tiempo necesario para el cambio de fase será el tiempo que tarde en absorber o liberar un calor equivalente al calor latente:

lM=Pt

t=lM/P

Ejemplos reales

La temperatura de la Tierra

Anteriormente vimos el caso de una absorción de calor a un ritmo constante combinado con emisión por radiación según la ley de Stephan-Boltzmann. Este ejemplo corresponde perfectamente con el balance radiativo de la Tierra: tiene una aportación constante de calor, que es la radiación proveniente del Sol, P_s=1350 W/m².

Parte de esta energía es reflejada por el agua del mar, el hielo de los polos, las nubes... este es el llamado albedo, que supone que alrededor del 30% de la radiación solar sea reflejada de vuelta al espacio. La radiación que finalmente llega a la Tierra, ve una circunferencia con el radio terrestre, R_T, cuya área es πR_T². La Tierra se calienta por acción de esta radiación, y comienza a re-emitirla por toda la superficie de su esfera 4·πR_T², de forma que escribiendo el balance del calor:

P_a=(1-a)P_sπR_T²

lo que da una temperatura de equilibrio:

Echando cuentas, según este balance, la superficie de Tierra debería estar a -19°C. Sin embargo, la temperatura media de la superfice terrestre está en torno a 15°C, debido al efecto invernadero. El efecto consiste en que parte de la radiación que libera la Tierra es absorbida por ciertos gases presentes en la atmósfera, y reenviada de vuelta a la superficie terrestre. Esto supone una aportación extra de energía que desplaza el balance hacia una mayor temperatura. El efecto invernadero se puede añadir a los cálculos anteriores como un factor de forzamiento f, representando una fracción de la energía emitida por la Tierra:

(1-a)P_s· + f(4σT⁴)=(4σT⁴)

De esta forma, la nueva temperatura de equilibrio vendrá dada por:

Sabiendo que la temperatura media de la Tierra son 15°C, el actual forzamiento es f=0.434, un 43.4% de la energía liberada por la Tierra por radiación. Es decir, que dos quintas partes del calor liberado vuelve a la Tierra por acción de los gases de efecto invernadero, unos 180 W/m².

El efecto invernadero no es una acción constante, sino que puede variar tanto por causas naturales como por la actividad humana. Esto es lo que desde hace unos años estudian los climatólogos: cómo la distinta concentración de gases afecta al forzamiento producido por el efecto invernadero. Y no sólo eso, dado que el cambio del clima puede implicar el cambio en el albedo terrestre, con lo que el balance radiativo se hace complicado de estudiar. Actualmente, el forzamiento radiativo extra, se estima en unos 4 o 5 W/m² positivos, lo que implica en principio que el balance se desplace hacia una mayor temperatura de la Tierra.

La mayor parte de la superficie terrestre es agua. Los mares y oceanos son los principales focos de temperatura del planeta, y es por tanto en ellos donde debe producirse el mayor cambio de temperatura de la superficie. Tanta agua representa mucha masa a calentar, y si tenemos en cuenta la ecuación del calor, podemos ver que el papel de la masa en ella hace que la velocidad de cambio de temperatura dT/dt sea menor. Así pues, el cambio climático, el cambio de temperatura del planeta es un proceso que en principio es lento. De ahí que las previsiones que el IPCC hace sean con 100 años vista. Y de igual forma que un cambio de temperatura requiere mucho tiempo, esa misma inercia hará que una vez producido el cambio, éste perdure largo tiempo antes de un nuevo cambio climático.

El acero fundido de las Torres Gemelas

Las torres gemelas se derrumbaron tras el impacto de dos aviones, y un posterior incendio. El calor del fuego debilitó la ya dañada estructura de las torres, provocando un colapso que era imposible de frenar. En los días posteriores se comenzaron las tareas de desescombro y limpieza de la zona cero. Esta labor se vio dificultada por un lado por la poca estabilidad de los restos, que producían nuevos derrumbes, y por otro las altas temperaturas que había bajo la masa de escombros.

Tal fue la temperatura que existen varias fuentes afirmando haber encontrado metal en estado líquido, metal que se suele identificar como acero proveniente de la estructura de las torres. Estas altas temperaturas, y este acero fundido se relacionan según las teorías de la conspiración con el uso de termita, una reacción química entre aluminio y óxido de hierro que libera gran cantidad de calor, suficiente como para fundir acero. Por ello, sospechan que se usó termita para fundir las columnas de las torres, y demolerlas de esta forma.

Según las informaciones, el metal fundido pudo habserse visto hasta varias semanas después del 11S. Entonces, la pregunta al hilo de este largo e interminable artículo es: si la termita fundió las columnas, ¿cuanto tardaría en enfriarse una masa de acero equivalente a la que tenían las torres gemelas? ¿Pudieron aguntar a la temperatura de fusión del acero durante varias semanas o meses?

La temperatura de fusión del acero es de unos 1800 K, mientras que la termita consigue elevar la temperatura del acero hasta unos 2800 K. Así, tenemos ya la condición inicial de T₀=2800 K.

La masa total de acero estimada para las torres gemelas es de unas 72.000 toneladas por torre (Fuente: Gregory Urich). Para hallar el área que ocupaba el acero, tenemos que suponer que formaba una sola masa homogénea. Toda esa masa ocupará un volumen vendría dado por V=M/δ siendo δ=7700 kg/m³ la densidad del acero. Dependiendo de la geometría, la superficie que radiará calor según al Ley de Stephan-Boltzmann será distinta según la geometría, siendo la forma de esfera la que menor superfice presenta, y la que por tanto se enfriará más lentamente

Supongamos que tras la caída de las torres gemelas, todo el acero forma una esfera, con una temperatura uniforme de 2800 K. Su masa son 144.000 toneladas (72.000 por torre), un calor específico constante con la temperatura de C_e=450 J/K·kg, una emisividad constante de ε=0.4, y un área de 3407 m²

Con estos parámetros, podemos hacer uso de la ecuación para el enfriamiento por radiación para saber cuanto tardará toda esta masa de acero en enfriarse hasta el punto de fusión del acero. Esta temperatura depende del tipo de acero concreto, pero ronda los 1800 K. Este tiempo, según se desprende de la figura, es de alrededor de 9 horas y media, mientras que el tiempo que necesitaría para llegar a la temperatura ambiente sería de 115 días, casi cuatro meses.

Figura: Tiempo de enfriamiento sólo por radiación. La escala logarítmica es para apreciar mejor las características de la gráfica.

A estos tiempos, en realidad, haría falta sumarles el tiempo que dura el cambio de fase de líquido a sólido, dado que durante ese tiempo, el material permanece en estado líquido, y con una temperatura constante. Se puede deducir que el tiempo que tardarían 144.000 toneladas de acero en cambiar de fase:

Así, el tiempo total que 144.000 toneladas de acero estarían en estado líquido serían unas 14 horas. Estos resultados indican que el enfriamiento por radiación por sí solo es demasiado rápido para que el acero se pudiera encontrar en forma líquida varias semanas después del derrumbe. Queda en evidencia entonces que un enfriamiento sólo por radiación no es un modelo válido para explicar las altas temperaturas que se observaron durante tanto tiempo.

La masa de escombros está en contacto con el aire. Este aire se calienta alrededor del acero, y asciende por al atmósfera, siendo reemplazao por aire frío. Así, podríamos considerar la atmósfera como un foco de temperatura constante. Sin embargo, como ya habíamos visto, esto provocaría que el enfriamiento se viera en realidad ligeramente acelerado, debido que ahora no sólo se piede calor por radiación, sino porque la masa cedería también una parte al foco (la atmósfera) aunque en último término, tras enfriarse por debajo de la temperatura de ésta, se llegaría a una temperatura de equilibrio, frenando el enfriamiento. Así, este otro modelo tampoco dará valores válidos.

La única opción disponible entonces para conseguir temperaturas tan altas y sostenidas en el tiempo, es suponer una fuente de calor constante que lo aporte a la masa de acero, mientras que esta se enfría por radiación.

De hecho, con este modelo, ni siquiera sería necesario tener como condición inicial una alta temperatura. En las torres gemelas hubo sendos incendios, que tras su derrumbe continuaron bajo la masa de escombros. Esto es indudablemente un foco de calor, y si sumamos a ésto que la refrigeración bajo una montaña de escombros era más bien escasa, estaríamos en un caso parecido a un efecto invernadero, tal y como ocurre con la Tierra. El calor desprendido por la masa de acero, al no poder ser evacuado fuera, se realimenta y reabsorbe, al menos parcialmente, aumentando entonces la temperatura.

Quizás no sea posible evaluar cuanto calor es debido a los incendios, y cuanto debido a este «efecto invernadero». Sí es posible en cambio estimar la cantidad de calor por unidad de tiempo mínima necesaria para mantener la temperatura de fusión del acero, a partir de:

P_a=AεσT⁴

P_a=3407·0.4·5.67·10^-8(1770)⁴=8.1·10⁸ W= 810 MW

siendo una parte debida al calor desprendido por el incendio, y otra parte por la reabsorción de energía. Una vez consumido todo el material susceptible de arder, los escombros debían enfriarse sólo por radiación, frenados por la reabsorción de calor.

Figura: Evolución temporal de la temperatura para varias condiciones

Una simulación de este proceso, con una temperatura inicial de T₀=800 K (526°C), con una potencia de absorción de energía de P_a=810 MW durante 90 días (tres meses), dan lugar a una evolución de la temperatura como la de la figura. También en la figura se hallan representadas otras condiciones. Nótese que la escala horizontal es logarítmica, para poder apreciar mejor los distintos perfiles de calentamiento durante el primer día de tiempo.

Estos cálculos demuestran que bajo los escombros de las torres gemelas debió haber una fuente de calor que duró bastante tiempo activa. Probablemente, dado que no había ventilación alguna posible, parte del calor liberado por los escombros, era reabsorbido por este mismo, en un proceso similar al efecto invernadero. Los entusiastas de las conspiraciones quizás ahora apunten con su dedo acusador, sugiriendo que esta es la prueba de que la reacción de termita fue la fuente de calor activa todo este tiempo.

Sin embargo, los cálculos indican que no hace falta que la fuente de calor sea tan elevada, sino que un incendio normalito bien podría haber elevado la temperatura hasta el punto de fusión del acero dada la falta de ventilación. Por otro lado, sugerir que durante varias semanas o meses estuvo reaccionando la termita sobrante tras la demolición de las torres implica que una inmensa cantidad de ésta debió introducirse en las torres, en realidad muchísima más de la que pudiera haber sido necesaria para demoler las torres, cualquiera que fuera la forma de usarla (a fecha de publicación de este post, nadie a propuesto una teoría creíble de cómo se usaría la termita para demoler los edficios), algo que suena bastante ridículo. Quien calculó la termita necesaria para tirar las torres se pasó de largo en el cálculo. Y por mucho.

Hay que tener en cuenta que en todo momento hemos supuesto una condiciones un tanto irreales, pero totalmente favorables a la hipótesis de que el acero se calentó por acción de la termita, y luego tardó todas esas semanas en enfriarse. Hemos tomado la masa total de acero de las torres y además hemos supuesto que toda la masa forma una esfera compacta. En realidad, podríamos haber supuesto que tenemos varios miles de columnas con forma de paralelepíedo hueco de casi 4 metros de largo, y unos decímetros de ancho. Sin embargo, el área radiante total entonces sería bastante mayor que el de una esfera compacta. Las suposiciones hacen por tanto que la respuesta térmica sea más lenta que un modelo más realista. Hemos trabajado con el modelo más lento posible. Esto a su vez implica que en un modelo real, el calor aportado por el incendio de los escombros y la reabsorción de calor sería también menor para mantener zonas (no ya toda la montaña de escombros) a una temperatura que permita alcanzar la temperatura de fusión del acero.

Que las temperaturas de los escombros del WTC fueran altas durante largo tiempo, no es debido al uso de termita. Es otra de esas ideas felices que no tienen ni pies ni cabeza, pero que se pueden explicar sin suposiciones fantasiosas.

La maldición del 13

2009-03-27T13:59:00.005+01:00

Ángel Nieto no ganó 13 campeonatos del mundo de motociclismo. Ganó 12+1.

Hace ya tiempo, en Magonia contaban que no habría misión con el número 13 de la Soyuz a la ISS

Y hoy, a dos días de la primera carrera del campeonato de Fórmula 1, veo que el dorsal número 13 se ha perdido por el camino.

Es difícil acabar con la superstición.

GcL: 4 añitos dando guerra

2009-03-24T19:51:00.003+01:00

Pues nada, que hoy se cumplen 4 años, 4, desde que se inauguró este antro de perversión.

Así que por un lado me felicito y me tiro de las orejas, y por otro lado, le doy las gracias a los 200 y pico mil lectores que han pasado por este lugar, y en especial a todos los que han contribuido dejando comentarios en todo este tiempo.

¡Hala! ¡Vamos por el quinto!

Sorpresa piramidal

2009-03-16T19:02:00.005+01:00

Que sorpresas da la vida. Hace poco subí a youtube aquél video con el experimento de la pirámide y los cuatro trozos de jamón york.

¡Nunca me hubiera imaginado un enlace desde este lugar!

(Y ahora, para gozo y disfrute del personal, el video una vez más)

Arquitecto sin conocimiento

2009-02-25T10:32:00.010+01:00

Confirmado.

Richard Gage, fundador de Arquitectos e Ingenieros por la verdad el 11-S, no es una autoridad fiable ni creible cuando habla de edificios.

Con esta brillante demostración ya lo intuíamos. Pero ahora, está confirmado.

En uno de sus últimos artículos Mandarin Oriental Hotel compared to WTC7—Dramatic Differences no le tiembla el pulso al escribir:

With the fiery inferno of the Mandarin Oriental Hotel (MOH) in Beijing on February 9, 2009, the obvious point of comparison is with World Trade Center 7 (WTC7) on September 11, 2001. Yes, the buildings were very similar in size and construction. Their heights were comparable, 522 ft. for MOH, vs. 610 ft. for WTC7. But the differences in the magnitude of the fires and ultimate results were dramatic, in the extreme.

Negrita mía.

Y tampoco tiene reparos en afirmar que:

Once the fires were out, the MOH remained standing. This is not at all surprising, since all previous steel-framed high rises have remained standing (other than WTC7, says NIST) after having been engulfed by fire.

Pues no. El edificio del TVCC (que contenía el MOH) no estaba hecho de acero como dice Gage. Estaba hecho de hormigón armado:

The 34-storey TVCC, (...), consists of a 1,500-seat theatre, audio recording studios, digital cinemas, news release and a five-star hotel with ballroom and function facilities and a generous spa. The hotel tower was designed as a reinforced concrete frame plus core

Y como ya sabemos tras el incendio del Windsor en Madrid, el hormigón resiste mejor que el acero ante incendios, por muy espectaculares que sean.

Por otro lado, el TVCC parecen ser dos torres unidas sólo por el techo, dejandoun hall muy amplio en el interior del edificio.

Pues eso, que los edificios se parecían en que tenían una puerta, ventanas, y techo.

Pero no hay de qué preocuparse:

Researchers at AE911Truth are very interested in making more detailed comparisons between these two buildings, the fires, and the aftermaths. Check back for the latest information.

Seguro que cuando descubran que los edificios no son comparables, nos lo cuentan.

¿O no?

11S: Buscando 'su' verdad

2009-02-18T08:58:00.007+01:00

Desde hace ya algún tiempo, están apareciendo webs en castellano dedicadas a descubrir "la Verdad" del 11S, y sus autores o seguidores se autodeniminan "activistas por el movimiento de la verdad".

Desde una de esas webs se ha realizado una crítica a la web 11-S: Análisis crítico que mantenemos Pedro Gimeno, Josué Belda y servidor de ustedes.

Una crítica que revela que estos "buscadores de la Verdad" en realidad lo que buscan es una "confirmación de su Verdad", basándose en informaciones incorrectas, o interpretaciones totalmente sesgadas a las que niegan tajantemente cualquier otra que no sea la suya. Dudan de la versión oficial, pero no es una duda basada en la razón, sino en sus prejucios, y lo que ellos ya consideran como "La Verdad" sin necesidad de buscarla.

Para dar cuenta de esas informaciones e interpretaciones sesgadas, hemos preparado esta respuesta:

Respondiendo a «Investigar 11-S»: Dudar sin pensar

Y para comentarios, debates y demás, les remito al foro

¿Cambio climático?

2009-01-13T09:57:00.003+01:00

En plena ola de frío, se ve esto en la web de la Agencia Estatal de Meteorología (http://www.aemet.es):

(Pinchar para ver en grande)

Conspiración on tour

2008-11-10T11:12:00.007+01:00

7 de Noviembre, 7 de la tarde, Fundación del Colegio Oficial de Arquitectos de Madrid (COAM). El arquitecto americano Richard Gage se pasó por allí, para demostrar (otro más) que las torres gemelas y el edificio 7 del World Trade Center cayeron debido a una demolición controlada. No es una charla aislada, porque Richard Gage está de gira por Europa, comenzando por Madrid.

A pesar de tener ya planes para esa tarde (aunque no se lo crean, los malvados escépticos también tenemos vida social, y no nos pasamos la vida pegados al ordenador o la tele a ver cual es la última de Iker Jiménez) me pude acercar un ratito a ver que se cocía.

Hay que reconocer que el evento tuvo éxito en cuanto a afluencia de público. Llegué 15 minutos antes del comienzo, y tuve que esperar a ver si había hueco porque el aforo estaba prácticamente lleno. A pesar de todo, pude entrar y coger asiento en la sala principal. En una sala exterior proyectaban la imagen y se oía la traducción simultánea.

Cuando entré, le estaban entrevistando para una televisión local de Vallecas. Poco pude oír porque le pillé justo al final, y sólo pude entender cómo hablaba de que había que “ceñirse a las evidencias”.

Y mientras esperábamos la cola para acceder al salón de actos, en un mostrador repartían tarjetitas con un resumen de esas evidencias, y de cómo éstas corroboran la teoría de la demolición controlada. También vendían CD’s al módico precio de 20 euros, que al fin y al cabo, la noble labor de abrir los ojos al mundo no se hace gratis.

Richard Gage se presenta como arquitecto desde hace 20 años, en la zona de la bahía de San Francisco. Miembro de la asociación de arquitectos e ingenieros por la verdad del 11-S apoyada ni más ni menos que por la friolera e impresionante cantidad de unos 500 arquitectos e ingenieros (*), todos ellos pidiendo una nueva investigación de los eventos de aquel día. Sin embargo, parece ser que ya no ejerce como arquitecto. Según él mismo dijo, ahora dedica el 100% de su tiempo a divulgar la teoría de la demolición controlada. De ahí el tour que tiene previsto realizar por toda Europa.

Tras la presentación, Gage denunció la existencia de una nueva ley (HR 1955) según la cual, cualquiera que dude de la versión oficial puede ser considerado terrorista. El texto de la ley anda por aquí, y dejaremos que sean quienes entienden de leyes los que opinen si la ley dice eso, o si es una nueva versión del argumento de persecución Galileana

Gage considera importante saber qué pasó realmente el 11 de Septiembre de 2001, para prevenir que otro 11-S ocurra algún día, algo en lo que creo la mayoría podemos estar de acuerdo.

Preguntó Gage por qué tipo de público tenía: unos 10 “oficialistas”, unos 50 “dudosos “, y otros 50 “convencidos de la conspiración”. En cuanto a formación, unos 20 entre arquitectos e ingenieros, y el resto, gente “normal” (sic), de lo cual llegó a decir “eso está bien”. Cada uno que lo interprete como quiera, pero siendo malo uno diría que tenía un público fácil, lo cual le agradaba.

Lo que no terminé por entender fue su obsesión por conocer los números exactos. Y tampoco quiero pensar mal en exceso.

Y así, empezó la chicha del acto, remarcando que sólo se iba a fijar en los hechos basados en ciencia, seguido de una mención a Pearl Harbour, y una introducción en forma de video del 11-S. El video, como no, decía que las torres gemelas cayeron en apenas 10 segundos. Mal empezamos, si partimos de hechos falsos, dado que el tiempo en que cayeron las torres fue más bien de unos 15 segundos.

El método científico tiene un esquema claro y fácil de seguir: tenemos unas evidencias, las interpretamos para elaborar una hipótesis, hacemos experimentos repetibles de los que sacamos conclusiones y entonces validamos o descartamos la hipótesis para buscar una nueva. Más o menos, todos estaremos de acuerdo en esa descripción.

En 2005, FEMA y NIST habían dicho que no encontraron evidencias de una demolición controlada. La crítica de Gage es que no se puede encontrar lo que no se busca. Pero también se le puede decir a Gage que si no hay motivos para buscar algo determinado, hacerlo es dar palos de ciego, algo que en alguna ocasión puede llevar a descubrimientos fantásticos, pero la mayoría de las veces a perder el tiempo (y malgastar el dinero). Aplicando el método científico esquematizado de antes, podríamos decir que los experimentos de FEMA y NIST confirmaban las hipótesis que les sugerían las evidencias disponibles, y por tanto no era necesario buscar en otra dirección.

Así, empezamos a repasar las características de los derrumbes. Empezamos por al torre 7. Fue la última en caer, pero tiene su lógica empezar por aquí. Creo que todos podemos coincidir en que su derrumbe se parece a una demolición controlada. La estrategia es clara: convencer primero de lo fácil (el WTC7 fue demolido controladamente porque se parece mucho a una demolición controlada desde la base del edificio), que luego será más fácil de convencer de lo difícil (la demolición controlada de arriba a abajo de las torres gemelas).

Remarco parece, porque al final la argumentación se reduce a un “confía en tus sentidos”, “tus sentidos no te engañan”. El primer elemento para convencernos de esta demolición controlada es… un video de una demolición controlada desde la base del edificio. En el video se apreciaba bien la explosión en los pisos bajos, y un segundo después cómo la estructura se cae.

Lo que no se aprecia en el video en cambio, es el sonido. Es un video mudo, donde no se oyen explosiones. De esta forma, al ver a continuación el derrumbe del edificio 7 uno no se da cuenta que falta el sonido de las explosiones, a pesar de que sí se oye el sonido del edificio cayendo. Eso sí, nos ofrece el sonido de una grabación de una emisión de radio, en la que la locutora entrevista a alguien de emergencias, diciendo que había oído como el sonido de un trueno o relámpago (literalmente, “clap of thunder”) justo antes de la caída. La transcripción (y sonido) se pueden encontrar aquí

Se nota que Gage se dedica el 100% a la divulgación, y tiene tiempo para hacer sus deberes. En Agosto de 2008, el NIST sacó por fin el informe sobre el colapso del WTC7. Y ya se lo ha leído a fondo.

Resumiendo, lo que señala el informe como la secuencia más probable del colapso, es que tras la caída de la torre norte (la segunda en caer), el WTC7 sufrió daños visibles en la fachada. También aparecieron algunos incendios, de los cuales, el que se dio entre las plantas 7 y 13 fue el causante final del derrumbe. El incendio comenzó en el lado suroeste del edificio, y se propagó a la zona norte (algo de lo que Gage se sorprende, a pesar de haber dicho previamente que es bien sabido que los fuegos no están más de 20 minutos en una zona concreta), y de la zona norte, a la zona este.

El incendio y las variaciones de temperatura dilataron y contrajeron los pisos y columnas, hasta que al final, en el lado este, algunos pisos se desprendieron de las columnas 79, 80 y 81. Éstas eran las más largas del edifcio, y además eran las que más peso soportaban. Al caerse los pisos, las columnas se quedan sin apoyos laterales, y comienzan un proceso de “pandeo” que las hace doblarse sobre sí mismas, comenzando el derrumbe general de todo el edificio.

Esta era una buena ocasión para que Gage mostrara sus conocimientos de arquitectura y explicara si esas columnas eran o no tan importantes. Y si el perder esas columnas hubiera hecho que el edificio se cayera como lo hizo, tal y como sostiene el NIST.

Un edificio se cae porque sus columnas dejan de soportar el peso. Cómo se eliminen, es independiente de lo que pase luego. De hecho, el NIST también examinó la hipótesis de la demolición controlada. Sabiendo que el edificio cae si se eliminan esas columnas, calcularon la cantidad de explosivo mínimo: una carga direccional de apenas 4 Kg de RDX en la columna 79. Al explotar, se elimina la columna y el edificio cae como se ve en las imágenes. Es una demolición controlada que cumple con los requisitos que piden los conspiranoicos, y coincide con los estudios de qué pasa cuando se elimina la columna 79.

Así que la pregunta para Gage, como arquitecto que es, debería ser si el hecho de perder el apoyo de las columnas 79, 80 y 81 hubieran tirado al suelo al WTC7. Luego, si quiere, podríamos entrar en si se perdieron por un incendio, o por una carga explosiva, pero el primer punto es claro: eliminar esas columnas ¿tira abajo el edificio, sí o no?. La mayoría de los que estábamos allí no poseíamos conocimientos suficientes para saberlo, Gage podría haber explicado si era así o no dado que él sí posee esos conocimientos. Pero, o me perdí ese punto, no entró en él.

En cambio, prefiere mostrar una imagen de la simulación del NIST. Según la simulación, unos segundos después del inicio de la caída el edificio empieza a retorcerse sobre sí mismo, algo que según él, no se aprecia en las imágenes. Sin embargo, estos giros de la estructura aparecen en los pisos más bajos, que están tapados por otros edificios en los videos, por lo que no podemos saber realmente si eso fue así.

Y para poco más me dio el ratillo que pasé allí. De lo poco que vi y oí, me pareció que la argumentación se reducía a fiarse de los sentidos para comprobar cómo un hecho se parece a otros. Pero en fin, igual después sí que sacó a relucir su experiencia como arquitecto y me lo perdí.

Una de las curiosidades que tenía para acudir al acto era saber si algún arquitecto o ingeniero con experiencia en construcción de edificios, o demoliciones, planteaba algún debate sobre las afirmaciones de Gage. Visto el tipo público asistente, tengo mis dudas al respecto. Y en todo caso, tampoco podría haberme quedado a verlo.

-Hay que ceñirse a las evidencias - le oí decir al entrar.

Las evidencias deben llevar a establecer las hipótesis. Sin embargo, si partimos de una interpretación errónea de las evidencias, llegaremos a hipótesis erróneas. La tarjetita que cogí al inicio del acto muestra las características de las caídas de los 3 edificios, que se toman como evidencias. Entre ellas, la archiconocida "caída libre", que las torres gemelas cayeron fuera de su huella, y la torre 7 dentro de su huella (¿ambas son evidencias de demolición controlada?), piscinas de metal fundido.... Pero la que llama más la atención es lo de la “nube piroclástica”.

En las torres Norte y Sur, la “evidencia” sugiere la presencia de unas nubes que se parecen a nubes piroclásticas, lo que sugiere el uso de explosivos. Una vez más, se nos está pidiendo que tomemos un parecido como evidencia. Las nubes piroclásticas surgen en algunas erupciones de volcanes, como la del Vesubio que llevó a la destrucción de Pompeya y Herculano. Es una nube de gas a muy alta temperatura que cae a alta velocidad volcán abajo.

¿Qué tiene que ver una erupción volcánica con una bomba, o demolición? Pues no lo sé. Tampoco se entiende por qué la gente que terminó cubierta por esa nube no murió carbonizada.

Lo cierto es que si los conspiranoicos fueran tan sólo el 1% de exigentes con sus teorías de lo que son con la versión oficial, se quedarían sin conspiración.

Actualización

(*) Compárese con los 123.000 miembros de la ASCE (American Society of Civil Engineers), y los 80.000 miembros de la AIA (American Institute of Architecs) (fuente) que al contrario de los 500 arquitectos a los que representa Gage, no dudan de los informes del NIST. Mucho conspirador suelto, es lo que hay

Otra Actualización

Terminó la gira europea, y Gage la resume en su web. Por supuesto, fue un éxito porque acudió gran cantidad de gente. Y la manía por contar qué tipo de asistentes tenía era por lo que me temía:

Cientos de arquitectos e ingenieros vinieron a ver de qué iba la controversia

No se cómo fue en otros países. En Madrid, de unos ~120 asistentes, sólo 20 eran ingenieros o arquitectos (un 16%). En París, parece que la proporción fue más o menos la misma: unos 40 de 240. Si la proporción fue la misma en el resto de países, entonces sumando los de todos los países, sí, llegaron al centenar, y representan al 16% del público. Otra cosa es si se creían o no los argumentos de Gage.

Y la otra frase me hace gracia es la de:

Y el número de manos alzadas reveló que apenas nadie apoyaba la conspiración oficial y la historia del fuego después de mostrar las evidencias

Se le olvida contar que el número de manos alzadas antes de dar las evidencias ya era elevado, por lo que en realidad, estaba hablando a un público ya convencido o predispuesto.

Si lo que intentaba contando tipos de asistentes era demostrar a posteriori que había convencido a ingenieros y arquitectos de "la Verdad"... pues simplemente me parece una manipulación.

El radar de Dulles

2008-10-06T11:55:00.008+02:00

Danielle O’Brien era controladora en el aeropuerto internacional de Dulles (Washington), de donde despegó el vuelo 77 que acabó estrellándose en el pentágono. De hecho, ella misma participó en el despegue del avión, pero lo que le ha hecho conocida son las siguientes declaraciones:

La velocidad, maniobrabilidad, la forma en que giró, lo que todos en la sala de radar pensamos, todos nosotros controladores aéreos experimentados, fue que se trataba de un avión militar (…) No pilotas un 757 de esa manera. Es inseguro.

Sobre las nueve y media de la mañana, O’Brien y sus compañeros vieron en las pantallas de radar un eco no identificado. Se movía rápido hacia el Este. Hizo un giro de casi 360º y desapareció del radar. Minutos más tarde el aeropuerto Nacional de Washington (el aeropuerto Reagan), les comunicaba que el Pentágono había sido alcanzado.

Quienes creen en una megaconspiración del gobierno estadounidense para autoatentarse, ven en estas declaraciones la confirmación de que ningún avión se estrelló en el Pentágono. Principalmente, es el giro de casi 360º el que levanta las sospechas, ya que por un lado O’Brien dice que es “inseguro” hacer volar así un 757, y no faltan pilotos expertos (y generalmente anónimos) que dicen que esa maniobra es imposible. En cambio, lo que habría visto O’Brien en el radar bien podría haber sido un caza, o incluso un misil.

Objeciones que se pueden hacer a esa rápida conclusión es que las palabras se pueden interpretar de otra forma: pilotar un 757 de esa forma puede ser inseguro, o incómodo para los pasajeros, pero no imposible, y para un terrorista que se quiere suicidar no parece que la seguridad del avión sea una prioridad. Por otro lado, están los datos de las cajas negras recuperadas, que confirman que se hizo tal giro, con una trayectoria que coincide con la marcada por el radar, y a pesar de que la maniobra quizás fuera hecha de forma chapucera, era perfectamente posible como confirman otros pilotos expertos (estos sí, con nombre y apellidos).

Las declaraciones, prácticamente las únicas que se pueden encontrar en la red, las hizo en Octubre de 2001 a la ABC, pero no fue lo único que dijo. Entre otras cosas, también relata cómo fue a ver por sí misma qué había ocurrido:

He estado en el Pentágono e imaginado por donde, según lo que vi en el radar, pudo haber venido el vuelo. Y creo que fueron hacia el Este y debido a que el sol les daba en los ojos esa mañana, y porque la Casa Blanca está rodeada de árboles, creo que no pudieron verlo. Iba demasiado rápido. Sobrevolaron el Pentágono o lo vieron frente a ellos. No puedes pasarte el Pentágono. Es tan reconocible por su forma y tamaño, y dijeron “Mira, ahí está. Ve por él. Dale a ese”. Ciertamente podrían haberle dado a la Casa Blanca si la hubieran visto

Que deja entrever que ella, controladora experimentada, a pesar de creer que volar un 757 de esa forma puede ser inseguro, no tiene dudas de que eso fue lo que recogió el radar.

¿Qué vio Danielle O’Brien?

En la web http://www.aal77.com/ están disponibles las imágenes del radar de aquella mañana. En concreto, se pueden ver los videos de los radares del aeropuerto de Dulles (código del aeropuerto IAD), de Reagan (DCA), de Baltimore (BWI), y de Harrisburg (MDT). En los tres primeros se ve un eco de radar dirigiéndose a toda velocidad hacia el este, haciendo el famoso giro, y finalmente acelerando hasta que se pierde la señal. Estas imágenes muestran lo que los controladores vieron aquella mañana.

El suceso no ocurrió tan rápido como podría parecer de las palabras de O’Brien: la pantalla del radar se refresca cada 5 segundos. El primer eco aparece sobre las 9:25 y la señal se pierde más de 10 minutos después.

¿Y qué estaba detectando el radar?

Las evidencias tales como el análisis de las cajas negras que describen una trayectoria igual a la recogida por el radar, los restos encontrados, y los testimonios de la gente deberían bastar para concluir que lo que el radar captó fue el AA77.

Pero por si aún hay alguna duda, vamos a razonar lo que pudo, y no pudo detectar el radar.

Como funciona un radar

El radar (acrónimo de RAdio Detection And Ranging) es un sistema que emplea ondas electromagnéticas para detectar y estimar la distancia de un blanco. Una antena barre en ángulo y en el tiempo de una vuelta (casi 5 segundos) emite una serie de pulsos. Estos pulsos cuando chocan con un blanco rebotan hacia la antena, donde generan una señal eléctrica que posteriormente se muestra en una pantalla. Ya que la velocidad de la luz es una constante (c=2.997•10⁸m/s), el tiempo (t) que ha tardado la señal en ir y venir determina la distancia (r) al blanco (r=c•t/2).

Pero el radar tiene una sensibilidad. Es decir, la antena necesita recoger una cantidad mínima de radiación rebotada para que la electrónica reconozca la señal como un eco, y no como ruido. Para entender qué factores determinan la señal que un eco produce en la antena, resumiremos el proceso que se puede encontrar más detallado en la web Radar Basics:

1- Emisión de señal
La antena del radar emite un pulso de radiación con una potencia media P_S. La radiación se propaga por el aire, hasta una distancia R donde se halla el blanco. Entonces, la radiación que recibe el blanco es proporcional a la potencia de salida de la antena, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que le separa del blanco:

2- Rebote de la señal
La radiación rebota y comienza a propagarse en todas direcciones. Sólo una parte vuelve hacia la antena. Cuanta exactamente, depende del tamaño del blanco, de su forma, y del material con que está hecho. Todos estos parámetros se combinan en uno sólo llamado Sección Eficaz de Radar, cuyo significado físico es el área aparente que parece mostrar el blanco. Así, la potencia que rebota es proporcional la potencia que llega, y su sección eficaz de radar:

3- Recepción de la señal
El eco producido debe recorrer el mismo camino R hasta llegar a la antena donde será detectado con una potencia P_e, por lo que de nuevo su potencia disminuirá como el cuadrado de la distancia:

4- Ganancias y pérdidas
Lo anterior es el esqueleto de la ecuación básica del radar. Para completarla falta añadir unos detalles. Primero, la antena no emite radiación de forma simétrica en todas direcciones, sino que concentra el haz en una dirección. Para ello, se diseña la antena con una forma y área específica. De esta forma, la potencia que llega al blanco es mayor que la que hubiera recibido si la radiación se hubiera emitido de forma omnidireccional.

Esto también afecta a la recepción del eco: cuanto mayor sea el área de la antena, más radiación recogerá. A esta corrección debida al diseño geométrico de la antena se le llama ganancia (G), y como vemos, actúa tanto en la emisión como en la recepción.

La longitud de onda también influye en la propagación de la radiación, por lo que también se debe incluir en la ecuación.

Por último, el radar está sujeto a pérdidas, a fracciones de la potencia recibida que no se convierten en señal eléctrica. Con todo esto, la ecuación final del radar queda como sigue:

En la ecuación se pueden diferenciar varias partes:

- Primero, la debida únicamente a la antena: potencia emitida, ganancia, longitud de onda y pérdidas (azul).

- Segundo, la debida únicamente al blanco: la sección eficaz de radar (rojo)

- Tercero, un factor debido a la geometría que es una constante (verde)

- Y cuarto, la distancia R (negro)

Fijando las características de un radar, el eco depende únicamente del tipo de blanco, y de su distancia a la antena. Blancos muy grandes a mucha distancia pueden rebotar la misma cantidad de radiación que un blanco pequeño a corta distancia. Un blanco pequeño rebota menos radiación que un blanco grande, y si ambos están a la misma distancia el blanco más pequeño puede no ser detectado.

Las antenas tienen un límite por debajo del cual no detectan ecos. A este límite se le llama sensibilidad, depende únicamente de la antena y se determina experimentalmente. Ecos que lleguen con una potencia similar o menor que la sensibilidad no se van a detectar.

El ruido es otro parámetro característico del radar. El radar tiene una sensibilidad, pero el ruido puede hacer que de pronto surjan señales más altas que ésta. ¿Cómo se puede diferenciar entonces entre una señal verdadera, o el simple ruido que por azar genera una señal ligeramente superior a la sensibilidad? Para ello se caracteriza este ruido, de forma que para considerar una señal como un eco válido, debe superar la señal que produce el ruido por encima de la sensibilidad.

El radar que se hallaba instalado en Dulles y en la mayoría de los aeropuertos norteamericanos en 2001 era el ASR 9 fabricado por Northrop Grumman, cuyas características se pueden encontrar por la web de la FAA

Las características que influyen en la ecuación del radar son los siguientes:

- Potencia media : 1188 a 1462 W
- Ganancia : 33-34 dB
- Frecuencia : 2.7 a 2.9 Ghz (longitud de onda : ~10 cm)
- Pérdidas : 2.6 dB
- Sensibilidad : -108 dBm (-138 dB)
- Ruido : 4.1 dB

Para este radar, la señal mínima que debe llegar a la antena para reconocer un eco debe ser de -138+4.1 dB=-133.9 dB

Como datos complementarios, el radar rota a una velocidad de 12.5 revoluciones por minuto (4.8 segundos por vuelta. El refresco en la pantalla del operador es cada 4.8 segundos), y su alcance es de 60 Millas Náuticas (unos 110 Km. 1 NM=1.852 Km)

Las señales en decibelios (dB) se calculan a partir de logaritmos. Así, si tenemos una potencia en vatios (P_W) para expresar la potencia en dB, P_dB=10•log(P_W).

Las unidades dBm (decibelios-milivatio) son el resultado de calcular los decibelios usando milivatios en vez de vatios:
dBm=10log(P_W•1000)=10log(1000)+10log(P_W)=30+dB

El alcance máximo no viene determinado por la sensibilidad del radar, sino por el periodo de los pulsos emitidos por la antena. Cuando la antena emite, no puede recibir y viceversa. La antena pone un contador de tiempo a cero cada vez que emite un pulso, y el eco debe llegar a la antena antes de que se emita el siguiente. Ese tiempo determina el alcance máximo.

Según las características técnicas del ASR-9, la antena emite un pulso con un periodo variable entre t=0.757 ms y 1.07 ms. En ese tiempo, la radiación debe ir y volver, por lo que la distancia más larga que puede recorrer la radiación varía entre r=c•t/2=113 km (61 NM) y 161 km (87 NM). El radar sólo muestra hasta 60 NM al operador.

En conclusión, tenemos que para que un radar ASR-9 reconozca un eco como señal, éste debe ser de al menos P_e=-133.9 dB, y debe encontrarse a un máximo de 110 km del radar.

La sección eficaz de radar

Con las características del radar conocidas, para estimar si un blanco determinado se puede detectar a una distancia R, hay que conocer aproximadamente su sección eficaz de radar.

La sección eficaz de radar (Radar Cross Section, RCS) es una medida del “área aparente”, o el área que la radiación “parece” encontrarse cuando rebota con el blanco. Otra interpretación posible es que es una medida de la probabilidad de que la radiación sea rebotada hacia la antena. Depende, obviamente, del tamaño del objeto, de su forma, de su orientación respecto a la antena, y de la longitud de onda.

También del material con que esté hecho el blanco. Así, por ejemplo, los cazas y misiles suelen estar recubiertos de un material llamado RAM (Radar Absorbent Material) que absorbe parte de la radiación para que la potencia del eco sea mínima. Otros cazas (como el F-117, o el B-2) y también algunos misiles (como el AGM-129) llevan formas calculadas expresamente para que el rebote de la radiación se desvíe hacia los lados, y no hacia la antena de radar evitando así su detección. Estos dos factores reducen la RCS.

Algunos valores típicos de RCS en metros cuadrados:

Avión Comercial / Bombardero
500 – 1000 (Ref. 1)
100 (Ref. 2)
100 – 1000 (Ref. 3)
Jet privado: 100 – Reactor: 1000 (Ref. 4)

Caza de combate
1 – 50 (Ref. 1)
2 – 6 (Ref. 2)
5 – 100 (Ref. 3)

Misil
0.1 – 10 (Ref. 1)
0.5 (Ref 3)
Tomahawk: 1 (Ref. 5)

Caza invisible (stealth)
F-117 0.1 (Ref. 2)
B-2 0.01 (Ref. 2)
Menor de 0.0001 (Ref. 4)

Ref 1: Radar Cross Section en aerospaceweb.org
Ref 2: Radar Cross Section Measurements (8-12 GHz) of Magnetic and Dielectric Microwave Absorbing Thin Sheets [.pdf]
Ref 3: RADAR CROSS SECTION (RCS) [pdf]
Ref. 4: Antenas
Ref. 5: Tomahawk (BGM – 109)

A pesar de la dispersión de valores, se ve que hay diferencias de uno o varios órdenes de magnitud entre aviones comerciales (100-1000 m²), cazas (5-100 m²), misiles (0.1-10 m²) y aviones invisibles (menos de 0.1 m²)

Dentro de cada tipo de blanco, también depende de su tamaño. No es lo mismo una avioneta Cessna, que un jet privado, o que un gran reactor tipo Boeing 757.

Y para un mismo blanco, puede haber también diferencias entre si la radiación ve el blanco de frente, o de lado. Normalmente, de frente la RCS es menor.

Teniendo en cuenta que estos valores son una estimación del la RCS, ahora podemos estimar algunas cosas: el ASR-9 tiene un alcance de R=60 NM. A esa distancia, ¿qué RCS debe tener un blanco como mínimo para poder ser detectado por el radar?

Para facilitar los cálculos, partiendo de la ecuación básica del radar, se puede expresar en decibelios:

Se han empleado las propiedades de los logaritmos para separar los términos. G_(dB) y L_s(dB) son la ganancia y las pérdidas expresadas en decibelios, tal y como aparecen en los datos técnicos.

Sabiendo que la distancia es R=110 000 metros (~60NM) y que la potencia mínima que debe llegar al radar es de 10logP_e=-133.9 dB, se puede despejar la RCS para obtener el valor mínimo que debe tener un blanco para ser detectado a 110 km de distancia.

Ese valor es 10·log σ = 23.6 dB, es decir, 232 m². Retomando los valores anteriores, vemos que un misil tiene una RCS que no pasa de 10 m². Un caza no pasa de 100 m² como máximo, parecido un avión pequeño; mientras que un gran reactor puede rondar hasta los 1000 m². Es decir, a 60 NM, un misil no sería detectado por el radar. Un caza tiene un valor máximo por debajo del límite, por lo que según las circunstancias, o el tipo de caza concreto, es probable que no fuera detectado hasta que estuviera más cerca; más o menos lo que mismo que le puede pasar a un pequeño jet privado o una avioneta. En cambio, un avión comercial tipo Boeing 757 sí tiene probabilidades de ser detectado a 60 NM.

Lo cual no podría ser de otra forma, porque el radar está pensado para controlar el tráfico aéreo que en su mayor parte es comercial. Si el radar se diseña para alcanzar esa distancia, es lógico ajustar la potencia para poder detectar ese tipo de aviones.

En cualquier caso, el sistema de radar por ecos es actualmente un sistema de apoyo. Tanto los aviones comerciales como los cazas llevan un transpondedor (también llamado radar secundario) que envía a la torre su posición, altura, dirección, velocidad, etc… Aunque el radar primario (el de ecos del que estamos hablando) no pudiera detectar un caza, sí que aparecería en pantalla la señal del transpondedor si éste está encendido.

El 11 de Septiembre los terroristas desconectaron el transpondedor en 3 de los 4 aviones secuestrados, entre ellos el AA77, por lo que en las pantallas de los controladores sólo aparecía un eco de radar primario sin identificación alguna

¿A qué distancia apareció el eco de radar en Dulles? ¿Cuanto se acercó o alejó del radar?. En esta imagen se ha superpuesto la trayectoria [.pdf] del eco en el radar de Dulles (IAD) en un mapa de google.

Cada círculo concéntrico corresponde a 5 NM. El primer eco en Dulles aparece sobre las 9:25 hora local, a una distancia entre 47 y 50 NM (entre 86 y 92 km). El eco se acercó a menos 18 km, y se alejó hacia el Pentágono, haciendo el giro y desapareciendo.

Pero Dulles no fue el único radar que vio el eco. El aeropuerto de Baltimore (BWI) también lo captó. En el mapa está oscurecido el área que ambos radares cubrían (y sus límites marcados en verde) y se ve qué parte de la trayectoria podían ver simultáneamente en ambos aeropuertos. El primer eco apareció en Baltimore a las 9:28 hora local (13:28 UTC), a 60 millas de distancia del aeropuerto, y a unas 22 millas de Dulles.

(Imagen del radar del aeropuerto internacional de Baltimore-Washington (BWI), tras recibir 5 ecos del AA77 a 60 millas de distancia)

Para terminar, en la imagen también se ha añadido una “mapa” de la sección eficaz de radar mínima (zonas azules). Cada zona indica el valor mínimo de RCS que debería tener un blanco para ser detectado por ambos radares simultáneamente. La zona azul más oscura indica que un blanco debía tener una sección eficaz menor de 10 m², lo que se estima para un misil. Fuera de esa zona, un misil no sería detectado por ambos radares a la vez. El azul más claro indica que en esa zona un blanco debe tener una RCS entre 10 y 100 m^2, como mínimo, lo estimado para un caza de combate. Más lejos de esa zona, un caza podría no ser detectado por ambos radares a la vez.

Como el eco en realidad se recibe fuera de ambas zonas azules, la sección eficaz de radar mínima que tenía el blanco era superior a 100 m².

Y por fin llegamos donde queríamos: ¿Qué puede ser, y qué no puede ser el eco?

No puede ser un misil. Un misil, con una sección eficaz de radar de 10 m² o menor, quizás se hubiera podido ver en Dulles cuando estuviera a menos de 25 NM, pero no su trayectoria completa. Pero en Baltimore no se le hubiera podido ver ni acercarse, ni realizar el giro de 330º. No era posible ver el eco en ambos radares simultáneamente, por lo que un misil no pudo generar el asombro de los controladores de Dulles.

¿Podemos suponer que es un caza con el transpondedor apagado, que se acercó y lanzó un misil? Un caza que no esté preparado para ser invisible (como un F-22, un F-117 o un B-2) dependiendo de su tamaño, uno que tuviera una sección eficaz de radar rondando los 100 m², se podría ver a partir de 45-50 millas. ¿Podría haber captado el radar de Baltimore su eco a 60 millas de distancia? Para afirmarlo o negarlo sin ningún género de dudas hace falta hilar más fino de lo que estamos haciendo aquí.

Supongamos que sí. Entonces ambos radares podían ver el eco simultáneamente.

Sin embargo, pudiéndose ver desde tan lejos, después de hacer el giro el eco desaparece en una zona donde no habría dudas de que puede ser detectado. Si el caza lanza un misil y huye de la escena del crimen, ¿por qué desaparece su eco, y no se capta la huída? La opción más razonable es pensar que el eco desaparece porque desaparece el blanco: el blanco se estrella contra el pentágono.

Pero ya hemos visto que no podía ser un misil. Lo cual nos llevaría a considerar otras teorías alternativas, como que lo que se estrelló allí fue un Globalhawk, que a veces se describe como un misil con alas que parece un “avión pequeño”, tal y como algún testigo dice que vio. Sin embargo, el Globalhawk no es un misil, y si parece un avión pequeño porque es un avión no tripulado.

Es un avión que se emplea en misiones de reconocimiento. Por dentro está lleno de sensores, ordenadores e instrumentación que le sirven para controlar el vuelo y recoger información, pero no lleva explosivos. Si se hubiera estrellado un Globalhawk en el pentágono, todo el daño vendría producido por su energía cinética, como haría un 757. Y claro, si ya hay pegas porque (según dicen) no se ven los restos del AA77 (más pesado y con mayor energía cinética), idénticos argumentos se deberían aplicar a esta opción: ¿dónde estarían los restos de un Globalhawk? Si los conspiranoicos no se creen que un 757 atravesara de parte a parte el anillo exterior del pentágono, ¿por qué habría de hacerlo un Globalhawk?

La última opción, que el eco era el AA77, no plantea problemas al radar. Su sección eficaz es mayor de 100 m², quizás rondando los 1000 m²: se puede detectar por ambos radares desde su alcance máximo, y su señal desaparece al estrellarse en el pentágono.

Conclusión: ¿Qué vieron los radares de Dulles, Reagan, y Baltimore?

Vieron un objeto que se acercó en dirección Este, hizo un giro, y se estrelló contra el pentágono.

¿Fue el AA77, un Boeing 757? Los radares podían hacerlo porque están diseñados precisamente para ello, y otras pruebas y testimonios corroboran que eso fue lo que captaron los radares.

¿Pudo ser un caza o un avión pequeño? Dependiendo del tipo de avión o caza, podría haber sido detectado. Pero tendría que haber terminado su trayectoria estrellado contra el Pentágono y no hay ninguna prueba que permita confirmar esta interpretación. Y puestos a aceptar que fue un avión lo que se estrelló, un Boeing 757 tiene una mayor energía cinética y capacidad de destrucción en un choque que un Globalhawk, o un F-18.

¿Pudo ser un misil? No. El radar tiene capacidad para captar un misil a una distancia cercana, pero no para detectarlo desde tan lejos. Aunque se hubiera podido ver en el radar de Dulles, no se hubiera visto en el de Baltimore, por lo que hay que descartar esa posibilidad.

11-S: Análisis crítico

2008-09-11T08:30:00.002+02:00

¿Por qué 4 aviones secuestrados volaron hasta una hora sin ser interceptados?

¿Se demolieron las torres gemelas con explosivos?

¿Cómo pudo caerse la torre 7, si allí no impactó ningún avión?

¿Por qué las baterías antiaéreas del Pentágono no derribaron el avión que se le venía encima?

¿Cómo un piloto mediocre al que no le quisieron alquilar una avioneta pudo pilotar y hacer acrobacias con un Boeing?

Todos sabemos que el 11 de septiembre de 2001 ocurrieron en Estados Unidos unos hechos terribles que costaron la vida a miles de personas. Un tiempo después de los fatídicos atentados, empezaron a surgir teorías según las cuales el gobierno estadounidense estaría implicado de alguna forma en ellos.

Estas ideas se vieron reforzadas por la aparición de determinados libros, vídeos y sitios web que ponían en duda la versión dada por prácticamente todos los medios de comunicación sobre Al Qaeda y el integrismo islámico como origen de la planificación y autoría de los atentados. La idea general sería que el gobierno habría tomado parte activa en una conspiración para perpetrarlos.

Igualmente empezaron los debates acerca de la veracidad tanto de la versión oficial, como de la verosimilitud de las teorías de la conspiración, muy salpicadas de connotaciones políticas y económicas.

11-S: Análisis crítico es una iniciativa de la Red crítica del 11-S para tratar de dar respuesta a dudas y preguntas frecuentes en relación con los atentados sucedidos en Estados Unidos el 11 de septiembre de 2001.

Dado que ha habido muchas manipulaciones de información en relación a los mismos, creemos que es necesaria la divulgación de las pruebas junto con un análisis de las conclusiones que podemos extraer de ellas, para tratar el tema con la objetividad que merece, despojándolo de amarillismos, verdades a medias y mentiras llanas. No pretendemos realizar un análisis sociopolítico basado en conjeturas o especulaciones, sino que nuestro foco se centra en observar los hechos físicos y las pruebas para deducir las conclusiones pertinentes a partir de ellas, no en hacer una interpretación política creativa.

Esperamos cumplir este cometido, pero no somos infalibles. Estamos abiertos a cualquier discusión y crítica sobre los contenidos de la web. Por motivos prácticos, creemos que lo mejor para este tipo de discusiones es este subforo, del foro Misterios de Todo a Cien, donde cualquier persona puede intervenir sin necesidad de registrarse.

11-S: Análisis crítico. Hechos y leyendas sobre el atentado que cambió el mundo
http://11-s.eu.org/

Foro de conspiraciones de todo a 100

Turismo paranormal

2008-08-23T18:11:00.000+02:00

No, si al final le voy a coger gusto a esto de hacer "turismo paranormal". Uno se va de vacaciones, y sin querer acaba encontrándose con exposiciones esotéricas

alegorías del hombre pez en Liérganes,
(bonito pueblo por cierto, que no necesitaría el reclamo del hombre pez para atraer turistas)

Pero el misterio más insondable que me he encontrado, ha sido esta escritura antigua en el parque natural de Cabárceno que ningún filólogo ha sido aún capaz de descifrar.

La Sábana milagrosa: 4. Apéndice: absorción de luz en un medio saturable

2008-07-24T09:50:00.004+02:00

Esta entrada forma parte de una serie dedicada a la Sábana Santa. Se recomienda leer las partes precedentes a ésta.

La sábana milagrosa:
0. Introducción
1. La formación de la imagen
2. Distorsiones en 2D
3. La representación en 3D
4. Apéndice: absorción de luz en un medio saturable

El objetivo de este apéndice es tan sólo divulgar un hecho curioso, que de rebote debería ser de aplicación en la hipótesis de la formación de la imagen en la Sábana Santa que sostienen los sindonólogos, aunque su efecto pudiera no ser muy notable. Lo leí por primera vez en la web de la NASA, donde ponen a disposición del público series de fotografías de la Luna hechas con varios módulos del programa Apollo.

Según cuentan, digitalizar las fotografías a partir de sus negativos lleva un proceso de limpieza, escaneo, y finalmente un procesado para corregir los niveles de luminosidad porque la respuesta de la película fotográfica es de tipo logarítmico, y no lineal como cualquiera pensaría de primeras. Es decir, dados dos focos de luz, donde uno tiene el doble de intensidad que el primero, en el negativo no se va a ver el doble de “oscuridad” entre un foco y otro, sino otra relación distinta, que depende de funciones logaritmo.

Al hacer una copia en papel a partir de un negativo, este tipo respuesta también está presente en el papel fotográfico, con lo que ambos procesos se cancelan, y la fotografía final sí tiene bien ajustada la luminosidad, produciendo una respuesta “lineal” entre la luz del objeto fotografiado, y su luminosidad en la fotografía final en papel.

Sin embargo, al digitalizar directamente los negativos de la misiones Apollo, la corrección debida a la respuesta de la película se tiene que hacer a posteriori, por medio de software.

¿Por qué ocurre este tipo de respuesta? Vamos a intentar explicarlo. Primero, es necesario aclarar términos, y diferenciar entre intensidad y dosis.

- Intensidad es la cantidad de fotones que cada segundo de forma continua llegan a una superficie (o que emite una fuente de luz).

- Dosis es la cantidad de total de fotones que en un determinado tiempo han llegado a una superficie (o han salido de una fuente de luz)

Son definiciones similares, pero distintas, aunque de forma informal se puede llegar a hablar de ambas como si fueran la misma cosa. Si a una superficie están llegando fotones, la intensidad dice a qué “ritmo” llegan esos fotones. La dosis dice “cuantos” fotones han llegado en total, desde que abrimos el obturador hasta que lo cerramos, sin importar el ritmo al que han llegado. La relación entre dosis e intensidad es simple: la dosis es la intensidad, multiplicada por el tiempo durante el cual los fotones han estado llegando.

A igualdad tiempo, dos intensidades distintas producen dosis distintas, pero proporcionales a las intensidades.

Dos haces de luz con distinta intensidad pueden producir la misma dosis: basta con dejar que la luz menos intensa llegue durante más tiempo, y al final en número de fotones recogidos serán el mismo. Por ejemplo, al hacer una fotografía con “poca luz”, es necesario dejar el obturador más tiempo abierto para que la fotografía final tenga suficiente claridad. Si la foto se hace con condiciones de “mucha luz”, entonces el obturador debe cerrase antes, para conseguir la misma claridad en la foto final.

Entendido esto, vayamos a ver en qué consiste una película fotográfica. Es un “papel”, o “substrato” que reacciona más o menos, según la dosis de luz que recibe. Las imágenes se componen de unidades mínimas de información, que llamamos píxeles. Un píxel por sí sólo no es una imagen, sino sólo un punto con un nivel de luminosidad determinada. Son todos los píxeles juntos con sus distintos niveles de claridad u oscuridad los que generan la imagen.

Todos tenemos una idea de lo que es un píxel en una cámara digital. En una cámara analógica, la película está compuesta de pequeños granos, que en última instancia son sus “píxeles”. Un grano no forma una imagen, sino que adquiere una luminosidad, y el conjunto de todos ellos forman la imagen

Cada uno de estos granos a su vez, tiene una gran cantidad de moléculas fotosensibles, es decir, que pueden absorber fotones, y llevar a cabo una reacción química que cambie su estructura y propiedades de forma permanente. Una vez que una molécula ha absorbido un fotón, no va a volver a absorber otro; o si lo hace, esa molécula no se va a volver “más negra”, sino que se queda como está, porque ya ha realizado la transformación que debía hacer. A efectos prácticos, una molécula reaccionada deja de estar disponible para absorber fotones.

Cuando se revela un negativo, un producto químico lo que hace es reaccionar de forma distinta con las moléculas que han sufrido este cambio por absorber un fotón, que aquellas que no lo han absorbido.

De forma que al final, cada grano contiene una concentración de moléculas con unas propiedades ópticas (digamos que “son opacas”), y de moléculas con otras propiedades ópticas distintas (“son transparentes”). Un ojo humano no es capaz de ver estas diferencias molécula a molécula, sino que de un grupo elevado de ellas, como las que hay en un grano, observa unas propiedades ópticas “promedio”, a medio camino entre la opacidad y la transparencia. Cada píxel de la imagen tiene una concentración distinta de moléculas opacas y transparentes, y el ojo ve por tanto los distintos niveles de opacidad “promedio” que forman la imagen que finalmente vemos de un negativo.

En la parte izquierda de la imagen anterior, hay distintos niveles de gris, generados a partir de los patrones indicados, que sólo contienen negro y blanco. La compresión en .jpg hace el “promedio” de ese patrón, y por eso vemos distintos niveles de grises

Otro ejemplo son las fotografías en blanco y negro de periódicos o en libros. Se puede ver como los distintos niveles de grises en realidad se deben a distintas concentraciones de puntos negros y espacios blancos.

Visto desde cierta distancia, el ojo es incapaz de ver individualmente estos puntos. Lo que vemos en esas fotografías es un “promedio” entre los puntos negros y los espacios en blanco, que el cerebro interpreta como un tono de “gris”

(Imagen de "La Pava", sacada del libro "Los caras de Bélmez", de J. Cavanilles y F. Máñez)

Así pues, uno abre el obturador, y deja que una dosis determinada de fotones llegue a la película hasta que cierra el obturador. ¿Qué nivel luminosidad tendrá un grano determinado? ¿Cuántas moléculas del grano van a reaccionar? Si tenemos N moléculas fotosensibles, y enviamos una cantidad D de fotones (menor que N), lo primero que se le ocurre a uno es que todos los fotones serán absorbidos. Y que si enviamos un número D’ (mayor que N), entonces N fotones serán absorbidos, y el resto (D’-N) pasarán de largo, o no afectarán a la película, mientras que en el negativo se obtendrá el máximo valor de gris posible (es decir, totalmente negro)

Pero veamos el proceso a cámara superlenta. Abrimos el obturador. Llega el primer fotón. Todas las moléculas están disponibles para absorber el fotón, así que el fotón tiene una probabilidad del 100% de acertar en una molécula que puede absorberlo, y hacerla reaccionar. Es absorbido, y la molécula cambia su estructura.

En seguida, llega un segundo fotón. Todas las moléculas menos una están disponibles para absorber el fotón. Da igual, como son muchas. La probabilidad de ser absorbido es del 99.9…%; otra molécula lo absorbe, y cambia su estructura.

Llega el tercero, el cuarto, el quinto… que van siendo absorbidos por moléculas que cambian su estructura. Hasta ahora, por cada fotón absorbido, hay una molécula que lo absorbe y reacciona. Pero a la vez, está disminuyendo el número de moléculas que pueden absorber un fotón. Llega un momento en que la probabilidad de ser absorbido disminuye de tal forma que el fotón no es absorbido, pasa de largo, y no genera un cambio de estructura de una molécula. De forma que la relación “un fotón-una reacción” deja de ser válida. Para cuando se cierre el obturador, si hemos dejado pasar una dosis D de fotones (menor que N), resulta que no todos los fotones se han absorbido y producido una reacción.

Coge un papel, y dibuja una tabla de 6x6 casillas. La tabla representa un píxel, o grano de la película; y cada casilla representa una molécula fotosensible. Todas las casillas están vacías, es decir, que tienes todas las moléculas disponibles para absorber fotones.

Tira un dado de seis caras dos veces. La combinación de tiradas te indica una fila y una columna. Eso indica con cual de todas las moléculas ha interaccionado el fotón que ha llegado. En la casilla de esa fila y columna, haz una cruz. Eso representa una molécula que ha reaccionado.

Haz una gráfica aparte, donde el eje x represente el número de dobles tiradas (=número de fotones que han llegado), y el eje y, el número de casillas con una cruz (=número de moléculas que han reaccionado). Al empezar, para x=0 fotones, hay y=0 moléculas reaccionadas. Tras la primera doble tirada, deberías tener x=1 fotón, e y=1 molécula. Ve marcando estos puntos. Borra la cruz en la tabla, y ahora haz dos dobles tiradas marcando las cruces correspondientes, y anota en la gráfica cuantas cruces tiene ahora la tabla (posiblemente obtendrás x=2, y=2).

Al cabo de varias repeticiones aumentando en número de tiradas, alrededor de la décima (si no antes), llegará un momento que obtengas una combinación de fila y columna que ya está marcada. Eso representa un fotón que ha encontrado una molécula que ya había reaccionado, y por tanto, ese fotón se pierde sin producir ninguna reacción.

Es posible que al inicio pensaras que si tienes 36 casillas disponibles, con 36 dobles-tiradas habrías llenado toda la tabla (“una tirada-una cruz” = “un fotón-una reacción”). Sin embargo, cuando lleves 36 tiradas, aún tendrás bastantes casillas sin marcar. Y necesitarás aún muchas más para poder llenar todas las casillas.

Si observas la gráfica que has ido construyendo, verás que tendrá más o menos esta pinta:

La curva azul representa la relación “un fotón-una reacción”. Los puntos negros representan valores que habrás ido marcando en tu gráfica. La curva roja, es la curva en torno a la cual se agrupan todos los puntos. Si repites la prueba varias veces, verás que aunque no obtengas nunca los mismos valores, los puntos siempre se agruparán en torno a esa curva.

Esta forma de simular un proceso a través de “tirar dados”, es el llamado “Método de Monte Carlo”. Procesos que pueden ser muy complejos, en los que es imposible controlar todas las variables (como saber con dónde va a caer un fotón), se simulan con un componente de azar, y se analiza el resultado global.

Es decir, no importa tanto saber cuantas moléculas habrán reaccionado tras llegar x fotones, sino la tendencia que siguen todos los valores tomados en conjunto: la línea roja.

Otro ejemplo de Método de Monte Carlo, lo usamos hace tiempo para predecir qué resultados se pueden esperar en experimentos de telepatía con cartas Zener

Cosas a destacar:

Primero, la relación entre la dosis y la “oscuridad” (o moléculas que han reaccionado) que se registra en el negativo no es “lineal”, sino del tipo “exponencial”. Si nos fijamos en la línea azul, que es la que hubiéramos esperado en principio, vemos que la curva roja se aparta de ésta. Es decir, esa curva crece más lentamente que la recta, por lo que se dice que es “sub-lineal”, lo que es típico de una función logarítmica, tal y como hablaban en la web del Apollo. (Logaritmos y exponenciales son funciones estrechamente relacionadas, así que supondremos que no quisieron ser rigurosos con el lenguaje)

Segundo, aunque un píxel tenga un determinado número de moléculas, hace falta una dosis de fotones mayor que el número de moléculas para poder hacer reaccionar todas. Y según quedan menos moléculas, se necesita una cantidad mayor de fotones para que al menos uno consiga hacer reaccionar una molécula. Es decir, el material que absorbe fotones se va poco a poco “saturando”, y la probabilidad de que un fotón sea absorbido disminuye según avanza el proceso y la saturación del material (que es lo que finalmente provoca la “sub-linealidad” del proceso)

Ahora veamos qué ocurre cuando del negativo, hacemos una copia en positivo. El proceso es prácticamente el mismo, con alguna ligera diferencia. Un foco de luz con una intensidad uniforme, ilumina un negativo. La luz lo atraviesa, pero teniendo en cuenta que el negativo presenta zonas claras (porque recibieron una dosis pequeña de fotones al hacer la foto orginal) y zonas oscuras (que recibieron una dosis más alta de fotones al hacer la fotografía), la intensidad de luz que finalmente atraviesa el negativo se modifica según este mismo patrón: de las zonas oscuras sale una dosis menor de fotones, que de la zona clara.

Cuando los fotones llegan al papel (cubierto con su propia película fotosensible), los fotones hacen lo mismo que antes: van uno a uno según llegan haciendo reaccionar las moléculas, y según la misma respuesta sub-lineal que antes. Las zonas a las que llegan pocos fotones, se vuelven claras (que corresponden a las zonas oscuras del negativo, y por tanto, a una alta intensidad de luz del objeto o escenario fotografiado), mientras que las zonas a las que llegan muchos fotones se vuelven oscuras (que correspondían a una zona clara del negativo, y por tanto a una baja intensidad de luz del objeto o escenario fotografiado)

Lo interesante resulta de comparar la intensidad de luz de la fuente de luz original, y el nivel de luminosidad de la fotografía resultante tras los dos procesos (negativo y copia): sigue una relación aproximadamente lineal entre la dosis de fotones que se capturaron al hacer la imagen, y la luminosidad que presenta la fotografía (o al menos lo hace en una zona que abarca la mayor parte de la gráfica). Esto nos asegura que la reproducción en papel tiene luminosidades “proporcionales” a la intensidad de luz del objeto o escenario real.

Mismo proceso, otra situación

La fotografía se parece a la energía nuclear de fisión lo que un huevo a una castaña. Pero lo divertido muchas veces de la física, es que situaciones que no tienen nada que ver, se pueden describir con los mismos procesos.

La fisión nuclear consiste en dividir átomos de Uranio-235 (isótopo con 92 protones, y 143 neutrones, con una abundancia del 0.07% en la naturaleza. El isótopo más abundante es el U-238). Al dividirse, libera una gran cantidad de energía que se convierte posteriormente en electricidad.

Para dividir un átomo de U235, es necesario que absorba primero un neutrón. Al hacerlo, se desestabiliza, y se divide en dos átomos más pequeños, y libera igualmente algún neutrón, que se emplea en producir otra fisión, siguiendo con la reacción en cadena.

Entonces: tenemos una barra de Uranio, que contiene un número determinado de átomos de U235. Tenemos un haz de neutrones. Un neutrón es absorbido por un átomo de U235. Éste lleva a cabo una reacción nuclear, y desaparece al fisionarse en otros dos átomos; es decir, no vuelve a estar disponible para absorber otro neutrón.

¿Cuántos átomos de Uranio235 se habrán fisionado después de que hayan llegado x neutrones? ¿Se habrán absorbido todos los neutrones enviados? ¿Cuántos átomos de U235 quedarán sin fisionar? Si aún no ves la similitud, cambia “átomo de U235” por “molécula fotosensible”, y “neutrón” por “fotón”. Las mismas relaciones matemáticas y consecuencias se aplican al caso de la fisión.

Y en este caso, es de gran importancia. Para que una reacción nuclear de fisión esté bajo control, es necesario controlar la cantidad de neutrones que llegan al Uranio. Es un equilibrio inestable que según del lado que caiga, hace que la reacción en cadena se dispare, o se frene. Afortunadamente, las centrales se diseñan para que en caso de romperse el equilibrio por cualquier motivo, la reacción se frene.

En este equilibrio entran las llamadas “barras de control”. Son unas pocas barras (generalmente de Boro) que se introducen entre las barras de Uranio. Su misión es absorber neutrones para mantener el equilibrio de la reacción en cadena.

Como hemos visto, según avanza la reacción, hay cada vez menos átomos de U235, porque desaparecen con su fisión. La probabilidad de que un neutrón sea absorbido y produzca una fisión disminuye según avanza el proceso, por lo que la reacción se puede ralentizar, y terminar parándose. Entonces, lo que se hace es ir retirando poco a poco las barras de control, para que absorban menos neutrones, y haya más disponibles para fisionar un átomo. Si hay más neutrones, hay más probabilidad de que uno de ellos sea absorbido, y produzca una fisión, manteniendo la reacción.

El ritmo al que hay que ir retirando las barras depende del ritmo al que se van fisionando los átomos, que depende del ritmo al que llegan los neutrones. Por tanto, saber cuántos Uranio U235 queda por fisionar es un dato clave para el funcionamiento de una central nuclear.

La Sábana Santa

La analogía del proceso de hacer un negativo con el de la Sábana Santa es un poco más obvio que en el caso de la fisión nuclear.

Una presunta radiación llega a la Sábana. La Sábana está compuesta por fibras de lino, cuyas moléculas absorben la radiación, y experimentan un cambio en su estructura. Según los sindonólogos, se deshidratan, es decir, pierden moléculas de agua que pudieran estar enlazadas.

Esta deshidratación cambia las propiedades ópticas de la sábana, dándole color a la imagen. Según llegan los fotones, las moléculas se van deshidratando, pero cada vez quedan menos moléculas hidratadas por deshidratar. Por lo que los fotones tienen cada vez menos probabilidad de ser absorbidos, generar una deshidratación en las moléculas, y oscurecer la tela. Nos hallamos de nuevo ante el mismo proceso.

Cuando en 1898 Secondo Pía hizo una fotografía de la Sábana Santa, observó que en el negativo aparecía la imagen más nítida, como si en realidad fuera el positivo. Eso lleva a algunos sindonólogos a hablar de la sábana como si fuera un negativo.

Si la imagen de la sábana se hubiera formado realmente como especulan los sindonólogos, sería, efectivamente, un negativo. Pero no por las razones que se esgrimen : “al invertir los colores se ve mejor la imagen”. Eso es un efecto relacionado con la percepción de la vista, que por cierto, también tiene una respuesta de tipo logarítmico, y no tiene nada que ver con el proceso de formación de la imagen.

Sería un negativo porque el proceso según el cual se habría impreso la imagen, sería el mismo por el que se genera un negativo al hacer una fotografía. Pero eso no implica nada respecto a los colores de la sábana, que la imagen se vea más nítida, y que el hombre hubiera tenido en realidad canas. Una cosa es el proceso del cerebro para la percepción de imágenes, y otra distinta el proceso físico-químico que produce una imagen en un medio saturable, ya sea en la Sábana Santa, o en un negativo fotográfico. Si se quiere hablar de la sábana como un negativo, hay que hablar de cómo se forma la imagen en ella, y no de cómo percibe el cerebro la imagen.

Conociendo entonces el proceso que hubiera seguido la sábana, hay que tener en cuenta que los niveles de luminosidad no son proporcionales a la intensidad original de la radiación, sino que es una relación “sub-lineal”. Al tratar los niveles de luminosidad de la imagen, estos deben ser corregidos teniendo en cuenta este efecto, como hemos hecho en la tercera parte, y justificamos en este apéndice.

La Sábana milagrosa: 3. La representación en 3D

2008-07-24T09:45:00.004+02:00

Esta entrada forma parte de una serie dedicada a la Sábana Santa. Se recomienda leer las partes precedentes a ésta.

La sábana milagrosa:
0. Introducción
1. La formación de la imagen
2. Distorsiones en 2D
3. La representación en 3D
4. Apéndice: absorción de luz en un medio saturable

Anteriormente habíamos visto cómo una radiación emitida por un cuerpo necesita saltarse a la torera todas las leyes de la óptica para poder formar una imagen sobre una sábana. Hoy toca hablar de la tridimensionalidad de la imagen, o esa propiedad según la cual, al representar los niveles de “intensidad” (o de oscuridad) de la imagen en una tercera dimensión, la imagen parece ser coherente con el volumen de un cuerpo real. Esta característica la “descubrieron” John Jackson, Eric Jumper y Peter Schumacher (JJS) allá por los 70, con un sistema llamado VP-8 Image Analyzer. El VP-8 fue desarrollado por Peter Schumacher. Y nadie como él mismo nos puede contar cómo funcionaba este cacharro. Lo tienen por escrito [.pdf], y en video [.wmv] (ambos en inglés)

Una foto de la Sábana Santa se colocaba en el aparato. Una cámara de video tomaba una imagen, la electrónica analizaba la intensidad de luz en cada punto de la imagen, y le asignaba un cierto valor. Estos valores se representaban en una pantalla, en una gráfica tridimensional donde los ejes x e y corresponden a las dimensiones de la fotografía, y la coordenada z al valor de luminosidad asignado.

Muy importante: la asignación que hacía el VP8 era del tipo “lineal” o “proporcional”, palabras que vienen a significar lo mismo: dados dos niveles de luminosidad cualquiera, la relación entre ellos guarda la misma proporción que la relación entre las alturas z asignadas. O en palabras de Schumacher:

Un cambio del 10 % en el nivel de intensidad entrante, produce un cambio en la elevación del 10% en el eje Z. Es una función directa, lineal.

Este trabalenguas se puede resumir en una gráfica: si en el eje horizontal ponemos los niveles de grises, y en el eje vertical la altura z que le corresponde, la gráfica que resulta es una recta:

Si nos fijamos en la recta morada, por cada dos cuadritos que se avanza en horizontal, se sube uno en vertical. Si en vez de 2, avanzamos 4 cuadritos en horizontal (el doble), entonces en vertical en vez de uno, son dos cuadritos (también el doble) lo que asciende la recta. En ambos casos la relación entre la altura ascendida, y la distancia en horizontal es la misma, y ese valor se denomina constante de proporcionalidad

Entonces, proporcionalidad (o linealidad) significa que las variables se relacionan por una recta. El parámetro a es la constante de proporcionalidad, que establece cual es esa “proporción”, es decir: “cómo de empinada” es la recta. El parámetro b no afecta a la proporción (“no afecta a la pendiente de la recta”). Por eso el primer parámetro es el importante, mientras que el segundo se puede ignorar la mayoría de las veces. Dos rectas con el parámetro a idéntico, pero distinto valor de b, representan la misma relación de proporcionalidad.

Bueno, ya conocemos (y entendemos, o eso espero) un dato importante: el VP-8 relaciona el nivel de gris y altura a través de una recta. Pero, ¿qué recta exactamente? Existen infinitas rectas, pero sólo una debería ser la correcta. Cuando se desarrolla una hipótesis para relacionar dos variables de forma proporcional, primero se deduce (o se asume justificando por qué) que tal relación es una recta. Luego, se calcula la constante de proporcionalidad a. Finalmente, se hace un experimento para comprobar:

1- Que las variables se relacionan a través de una recta
2- Que la proporción coincide con la calculada

Si el resultado es una recta, hemos demostrado que la mitad de la hipótesis es correcta, y la teoría va por buen camino. Si además coincide (dentro del margen de error) con la proporción, la hipótesis ha pasado todo el test. Si no, habrá que volver atrás y modificar algún punto de la teoría para calcular de nuevo el parámetro a, sin desechar la hipótesis aún. Pero si la gráfica ni siquiera es una recta, entonces habrá que hacer uso de la papelera, empezar desde el principio, y suponer otro tipo de relación no proporcional.

¿Qué ocurre en el caso de la Sábana Santa? Que no sabemos cómo se relacionan los valores de intensidad y altura. JJS metieron la imagen en el analizador. El analizador formó una imagen 3D basándose en sus propias reglas de proporcionalidad, y los tres creyeron entonces que la intensidad de la imagen se relacionaba con la altura o topografía del cuerpo.

Es decir, hicieron una observación experimental, pero no existe ninguna razón para pensar que esa observación deba de ser correcta, ni nadie ha comprobado si esa observación tiene que ser correcta. Simplemente, se ha asumido sin más. La relación entre intensidad y altura no tiene por qué ser lineal. Y si lo fuera, no sabemos qué parámetros de la recta son los correctos para hacer la comparación. Tanto el VP-8, como la mayoría de programas actuales y más modernos que representan en pseudo3D, pueden variar arbitrariamente la constante de proporcionalidad: tienen un “botón” que modifica la pendiente de esa recta. Y se puede modificar hasta conseguir que la imagen aparente estar bien proporcionada: que el tamaño de la nariz en vertical esté proporcionado con respecto al tamaño de la cabeza, por ejemplo.

Dos imágenes cambiando los parámetros de la recta que relaciona altura con intensidad: no todos los valores dan lugar a una imagen que parezca coherente con el volumen de un cuerpo en 3D.

Quizás algún malvado escéptico comeniños y amante de la barbacoa vea en esta arbitrariedad una justificación para tirar por tierra las conclusiones del trío JJS. Pero no es así necesariamente. Es perfectamente válido ajustar arbitrariamente ese parámetro hasta obtener la imagen lo más proporcionada posible. El problema es que aún faltaría la mitad del trabajo, que es comprobar que la relación proporcional debe ser correcta, darle un sentido a esos parámetros a través del desarrollo de una hipótesis, y comprobar que los valores obtenidos no sean absurdos dentro de esa hipótesis.

Esos parámetros podrían dar información que seria relevante, por ejemplo, para entender la naturaleza de la presunta radiación, pero sin hipótesis, no dejan de ser unos simples números sin sentido.

Esto legitima a emplear idéntica arbitrariedad a cualquier otra imagen para demostrar que un dibujo también puede presentarse en pseudo3D con unas proporciones aparentemente aceptables, pudiendo refutar así el argumento de que la tridimensionalidad de la Sábana Santa es un fenómeno único, y no reproducible de cualquier otra forma, en ningún tipo de fotografía, imagen, dibujo, etc….

De esta forma, que el ajuste “a mano” sea arbitrario, o qué valores son los correctos, tiene una importancia relativa. Lo realmente prioritario es saber si la relación entre altura e intensidad y viceversa es o no proporcional, y es lo que vamos a discutir a continuación. JJS justifican la relación entre intensidad de la imagen en la sábana y topografía del cuerpo, en que al hacer la representación el cuerpo aparece una forma que básicamente es un cuerpo real. Es decir, han obtenido la topografía original sin distorsiones ni desproporciones en la tercera dimensión, y por tanto, concluyen que los niveles de intensidad tienen “codificados” la topografía de un cuerpo que fue envuelto con la sábana. En particular, Schumacher se maravilla de que por ejemplo la nariz aparezca con una “rampa”, como lo haría cualquier otra nariz. O las formas de brazos, piernas, pecho...

Cuando se activó el modo de imagen pseudo-tridimensional, una imagen “tridimensional verdadera” apareció en el monitor. Al menos, había suficientes trazas de una estructura tridimensional real en la imagen mostrada. La nariz hacía rampa en relieve. Las características faciales estaban apropiadamente contorneadas. Las formas del cuerpo de brazos, piernas, y pecho tenían la forma básica humana.
P. Schumacher

Nota: Schumacher está hablando originalmente de la topografía de un cuerpo. Otros sindonólogos posteriormente hablan de la distancia entre la sábana y el cuerpo.

Para esta conclusión, se parte de la sábana y se genera una imagen en 3D, pero no se confronta a lo que sería el proceso de formación de la imagen partiendo de la topografía de un cuerpo para llegar a una sábana con una imagen en ella. Les faltó comprobar si “la otra mitad” de la historia era coherente con su observación: que un cuerpo envuelto en la tela dejaría los niveles de intensidad que observan.

Esa otra mitad del proceso es en realidad lo que los sindonólogos llaman su “hipótesis sobre la formación de la imagen”, de la que ya hablamos en la primera parte. Así que nada como poner a prueba si esa hipótesis produce resultados coherentes con la afirmación de la tridimensionalidad.
La formación de la imagen no es algo tan simple como “sale una radiación y deja su imagen en la sábana”. En realidad, es un proceso que consta de varios pasos. A cada paso lo vamos a llamar “transformación”. Cada una de estas transformaciones parten de una función de entrada, que es transformada con unos parámetros de control, y que finalmente proporciona una función de salida, que a su vez puede servir de función de entrada de la siguiente transformación. El resultado final del conjunto de todas estas “transformaciones” es lo que lo que JJS meten en el VP8, que aplica su propia transformación, que tiene como función de entrada los niveles de grises de la imagen, como control los parámetros (ajustables por el usuario) de una recta que relaciona los grises con altura, y como función de salida la altura o topografía del cuerpo en 3 dimensiones.

En realidad, el VP8 está recorriendo el mismo camino, pero en sentido inverso y de un solo paso: parte de los niveles de grises, y los transforma para obtener la topografía del cuerpo; y lo que vamos a hacer nosotros es partir de la topografía para llegar a los niveles de grises en varios pasos, usando las hipótesis de los sindonólogos. El VP8 está haciendo pues una transformación inversa al proceso de formación de la imagen.

A todos debería resultarle intuitiva la idea de que si aplicas una transformación, y luego su inversa, se obtiene el original sin modificación alguna:

- Si multiplicamos una función por un número k, basta hacer la operación inversa (dividir por ese mismo número k, o equivalentemente, multiplicar por el inverso del número, 1/k) para obtener la función original.

-Si elevamos una función al cuadrado, basta con hacer la raíz cuadrada (la inversa del cuadrado) para obtener la original.

-Si a una función le aplicamos un logaritmo en base 10, basta aplicar la inversa del logaritmo (la potencia de 10) para obtener la función original.

Al asumir que la imagen generada a través del VP8 es correcta, los sindonólogos están asumiendo que la transformación correcta es que la altura (z) es proporcional a la intensidad (I), es decir,

z(x,y)=k•I(x,y)

donde k es el parámetro de proporcionalidad, que hace la transformación entre las funciones I y z

Ya hemos dicho cual es la transformación inversa de una multiplicación: La división. Basta entonces dividir por el mismo número k para obtener la transformación inversa I=z/k, o lo que es lo mismo, una relación en que la intensidad I es proporcional a z, a través del número (1/k):

I(x,y)=(1/k)•z(x,y)

.

La transformación inversa de una transformación lineal, es otra transformación lineal

Por tanto, si se asume que una transformación lineal representa correctamente la topografía del cuerpo a partir de los niveles de grises de la imagen, entonces, el conjunto de las transformaciones necesarias para que, partiendo de la topografía del cuerpo se consiga la imagen en la sábana con esos niveles de gris, debe ser también lineal.

Nota: No estamos diciendo que todas y cada una de las transformaciones individuales deban ser lineales, sino que el conjunto de todas ellas lo sea.

Vayamos repasando las transformaciones una a una. Es complicado tener un modelo de un cuerpo entero, por eso sólo vamos a ver cómo todas estas transformaciones afectan a un perfil de una cabeza (aprovechando el modelo que propone el sindonólogo Mario Latendresse).

El perfil de la cabeza se representa por una función z(x), que a cada punto x le asigna un valor de altura z. La hipótesis que sostienen los sindonólogos es que el cuerpo emite una radiación sólo en vertical. Esta radiación sale de cada punto del cuerpo con una intensidad que depende del ángulo que una recta perpendicular a la superficie del cuerpo hace con la dirección vertical, en la cual se propaga la radiación (es la ley del coseno “sindonológica”). Entonces, nuestra primera operación consiste transformar la función del perfil z(x) en una función de intensidad I(x) de una radiación que emite el cuerpo en cada punto x. Para ello, primero se calcula el ángulo que la superficie de la cara hace con la vertical, y después su coseno.

La siguiente transformación tiene que ver con la propagación de la radiación. Al viajar desde el cuerpo hasta la sábana, según los sindonólogos la radiación pierde intensidad con la inversa del cuadrado de la distancia, algo llamativo que ya discutimos largo y tendido en la primera parte.

La transformación ahora, parte de la intensidad de la radiación en el cuerpo obtenida en el paso anterior, se tiene en cuenta la distancia entre la sábana y el cuerpo, y se transforma según la inversa del cuadrado de esta distancia:

Vamos por la tercera. Es la Ley del Coseno (la de verdad, la de Lambert). La superficie de la sábana hace un ángulo con la dirección vertical. Esto se traduce en que la radiación que va a ser capaz de absorber la tela, depende del coseno del ángulo que forma una línea perpendicular a la sábana, con la vertical. Así, primero se necesita calcular tal ángulo, y posteriormente, su coseno, para transformar la intensidad que llega a la sábana tras su propagación:

En realidad, no está claro si los sindonólogos tienen en cuenta esta ley o no (deberían hacerlo). Lo que sí está claro es que la conocen, ya que por ejemplo Giulio Fanti la describe en alguno de sus artículos. En todo caso, no hace mucha diferencia, como puede observarse.

Por último, queda otra transformación: los fotones de luz son absorbidos por moléculas de las fibras de la sábana, que sufren una reacción química (al parecer, se deshidratan). Esta deshidratación es la que produce el oscurecimiento, y la aparición de la imagen. Cómo depende el oscurecimiento de la cantidad de fotones que llegan a la sábana, es algo largo, farragoso, curioso e interesante de contar, que he dejado para el apéndice. Allí se justifica que la relación entre intensidad y oscurecimiento sea de tipo “sub-lineal”, que hemos usado para producir este resultado:

Llegando pues al perfil de intensidad final.

Si analizamos los pasos intermedios, vemos que no hay ninguno que sea una transformación lineal. En todo caso, los que más se acercan son, por un lado, el tercer paso (ley del coseno de Lambert): el modelo de la sábana son varias rectas. En cada una de estas rectas, el ángulo que forman con la vertical es constante, y por tanto su coseno también. Por lo que aplica una transformación “lineal a trozos”, con distintas constantes de proporcionalidad según el trozo considerado.

Y el último paso también se acerca a la linealidad. En realidad, podría no ser así. Si la cantidad de fotones que llegaran fuera muy elevada, se llegaría a producir una “saturación”. Sin embargo, los sindonólogos dicen que tal saturación no está presente en la sábana. Y eso hemos tenido en cuenta a la hora de simular transformación, lo que da una transformación que se acerca a la proporcional, aunque no lo sea. Por eso estos dos últimos pasos no varían demasiado el perfil de intensidad entre el entrante y el saliente.

Realmente, la transformación que más influye es la segunda: la propagación de la luz (intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia)

Pero lo importante, como hemos dicho, es la transformación total: cómo se ha transformado la función inicial z(x) en la función final I_a(x). A simple vista, se pueden comparar el perfil de altura original, y el perfil de intensidad final. Y ver que no guardan las proporciones entre ellas. Por ejemplo, la diferencia de altura entre la frente y la cuenca del ojo, es mucho menor que la diferencia de altura entre la barbilla y el cuello. Sin embargo, en el perfil de intensidad, estas dos alturas son prácticamente iguales: No se han guardado las proporciones, la transformación no ha sido proporcional.

Por mostrarlo de forma más analítica, la idea de proporcionalidad es que una función es idéntica a la otra, excepto por la multiplicación de un parámetro constante que hace guardar las proporciones entre ambas funciones . Podemos entonces coger ambos perfiles, y dividirlos. Su resultado debería ser una constante, independiente de la variable x. Y al hacerlo, tenemos la confirmación de lo que se veía “a ojo”:

La intensidad no es proporcional a la topografía, porque el parámetro por el que hay que multiplicar la topografía no es una constante independiente de x:

Hemos comparado el perfil de una cabeza, según las observaciones de Jackson, Jumper y Schumacher. Otros sindonólogos dicen que la imagen no representa la topografía, sino la distancia entre sábana cuerpo.

Se puede comprobar que la intensidad final tampoco guarda las proporciones con la función distancia Sábana-Cuerpo (línea azul en la figura de la segunda transformación)

En realidad, existirían otras transformaciones que no hemos tenido en cuenta:

- Las distorsiones de tamaño que se producirían en la sábana, y que vimos en la segunda parte

- Hacer una fotografía de la sábana, generar el negativo, y de ahí producir la imagen positiva que se mete finalmente en el analizador de imágenes.

No tenerlas en cuenta es lo mismo que suponer que reproducen fielmente la función de entrada que tengan, sin deformaciones, distorsiones, ni desproporciones.

Así pues, a partir de la hipótesis de formación de la imagen, se llega a un resultado que no es coherente con la representación en 3D que hace el VP8. Las conclusiones posibles son,

- Una: si la imagen del VP8 es coherente con el volumen de un cuerpo, y si la imagen se produjo como sostienen los sindonólogos, entonces hay que concluir necesariamente que la persona de la sábana estaba deformada.

- O dos: admitir que al menos una de las dos proposiciones, o incluso las dos (“hipótesis de formación”, o “representación del VP-8 es correcta”) es errónea.

Por hacer más visual cómo la hipótesis sindonológica transforma una figura tridimensional en un nivel de grises de una tela, y cómo sería representado posteriormente en 3D, he aquí un ejemplo simple.

Un óvalo, cubierto por una “sábana” (con forma de parábola):

Al aplicar todos los pasos anteriormente descritos, se transforma tal que así:

Ahora, piensen en un cuerpo, con todos los detalles de la cara, brazos cruzando, etc… y una sábana adaptándose como buenamente puede al cuerpo.

Llegados a este punto, habría que recordar las palabras de G. Fanti, apelando a la navaja de Occam. ¿Realmente creen los sindonólogos que no hay que complicar las hipótesis innecesariamente? ¿Realmente creen qué hay que centrarse en las características más llamativas?

Pues un buen punto de partida lo tienen entonces el trabajo Image Formation and the Shroud of Turín, E.Craig. Journal of Imaging Science and Technology, Vol. 34 N.1 (1994), donde se propone que la imagen de la Sábana Santa se hizo con una técnica similar al dibujo al carboncillo, con alguna modificación. Sus resultados son al menos dignos de tener en cuenta:

- Requiere tecnología disponible en la edad media (e incluso anterior)

- Que sea una pintura o dibujo justifica que no haya grandes distorsiones en 2D, y las que hay sean atribuibles a la poca pericia del artista.

- Genera una imagen en 3D con al menos tan “forma humana básica” (P. Schumacher dixit) como la imagen de la Sábana Santa

La Sábana milagrosa: 2. Distorsiones en 2D

2008-07-17T12:23:00.009+02:00

Esta entrada forma parte de una serie dedicada a la Sábana Santa. Se recomienda leer las partes precedentes a ésta.

La sábana milagrosa:
0. Introducción
1. La formación de la imagen
2. Distorsiones en 2D
3. La representación en 3D
4. Apéndice: absorción de luz en un medio saturable

Si una persona se cubre con una tela, y marca donde están sus orejas, nariz, barbilla, etc… al estirar la tela observará una imagen de sí mismo distorsionada. Sin embargo, eso no se aprecia a primera vista en la Sábana Santa. Esta aparente ausencia de distorsiones tales como tamaños de cabeza, piernas, brazos, etc… lleva a los sindonólogos a hablar de una “proyección perpendicular”.

Para entender de qué hablamos con la “proyección perpendicular”, cojamos una pelota de tenis. Su tamaño viene dado por su diámetro (unos 6.5 cm). Ahora, ilumina la pelota desde lejos con una linterna (o sube la persiana, y coloca un folio detrás de ella, y perpendicular a los rayos del sol), y marca su sombra sobre un folio blanco perfectamente plano. Si medimos el diámetro de la circunferencia dibujada, coincidirá con los 6.5 cm del diámetro de la pelota. Lo que hemos hecho ha sido “proyectar” la imagen de la pelota (o más bien su sombra) sobre un plano que estaba colocado perpendicular al haz de luz, de ahí el nombre de “proyección perpendicular” (también se usa “proyección ortogonal”).

Esta prueba nos muestra otro motivo más que tienen los sindonólogos para introducir una radiación puramente vertical en su hipótesis de formación de la imagen (vista en la primera parte): una radiación totalmente en vertical estaría produciendo la “proyección perpendicular” del cuerpo hacia la sábana, de igual forma que nosotros estamos produciendo una proyección de la pelota usando su sombra. Y esta proyección podría reproducir el tamaño del cuerpo sin distorsiones aparentes.

Otro ejemplo de proyecciones ortogonales son las fotografías, donde la película (o el sensor CCD en las digitales), registra una proyección generada por la lente del escenario que está fotografiando.

Por eso se puede por ejemplo, coger una pelota, fotografiarla junto a una regla, y usar la regla para medir su tamaño en el ordenador.

Las dimensiones de un objeto en el espacio se describen por 3 variables (x,y,z). Una “proyección” lo que hace es suprimir una de estas variables proyectando la sombra del objeto sobre el plano definido por las otras dos, para ignorar esa información, y trabajar sólo con la sombra producida. Equivalentemente, y por hacer la analogía con la Sábana Santa más evidente, también podemos imaginar que del objeto salen rayos de luz paralelos hacia un plano, y trabajamos con la dimensión y orientación de la silueta luminosa dejada en él.

En el caso de la Sábana Santa, la tercera dimensión eliminada es la vertical, pero que sin embargo, los sindonólogos recuperan cuando tratan con los distintos niveles de oscuridad de la imagen.

Entonces, la “proyección perpendicular” generada por la radiación sólo en vertical justifica que no aparezcan distorsiones notables en la imagen de la sábana, y todos tan contentos.

O no.

Para que la imagen estuviera libre de distorsión, una condición necesaria (aunque no suficiente), es que la sábana estuviera totalmente plana y perpendicular a la radiación. Otra condición necesaria, sería que la superficie del cuerpo también reposara perpendicular a la dirección de la radiación. Si alguna de las dos no fueran perpendiculares a la luz, entonces la "sombra" (o imagen) se distorsionaría respecto de su tamaño original. Puedes comprobarlo en un día soleado. Según la hora del día, la luz incide con un ángulo distinto sobre el suelo, una pared, o tu propio cuerpo. Según esta inclinación, y la inclinación de la pared o el suelo, y la inclinación de tu cuerpo, la sombra producida puede ser más larga o más corta que el tamaño real de tu cuerpo.

Por eso, una preocupación de los sindonólogos es determinar cual sería la posición de la sábana al cubrir el cuerpo, y cual sería así mismo la posición del cuerpo, para intentar demostrar que no se producen grandes distorsiones en una proyección, y la imagen es compatible con la que dejaría un hombre envuelto en la sábana.

Las investigaciones de este aspecto nos llevan, por ejemplo, a ver cómo un becario acepta ser tapado con una sábana milimetrada.

The Turin Shroud Was Not Flattened Before the Images Formed and no Major Image Distortions Necessarily Occur from a Real Body. Mario Latendresse, 2005 [pdf]

Lo que nos demuestra que la sábana, se posiciona de cualquier forma, menos plana y perpendicular a la dirección vertical.

Nótese además como el becario, o bien tiene sus partes nobles a la altura del ombligo, o la postura a adoptar para coincidir con la imagen de la Sábana Santa resultaba demasiado forzada como para mantenerla

Volvamos a la pelota de nuevo. Cúbrela ahora con una tela, adaptándola a su forma. Marca con un rotulador el borde de la tela en contacto con la pelota, que corresponderá al perímetro de la pelota. Es el equivalente a que la pelota emita la radiación misteriosísima en vertical, y marque sus bordes en la tela que la envuelve. Estiramos la tela de nuevo y …

La imagen de la pelota está distorsionada. La sábana, un tejido pensado para cubrir un objeto plano como una cama, es incapaz de adaptarse bien a la superficie curvada de la pelota. De ahí que aparezcan dobleces, y al marcar y estirar la sábana, aparezca una forma distinta a una circunferencia.

Dejemos al margen este efecto, y veamos otro que me interesa señalar más: imagina que la marca es aproximadamente una circunferencia. Su diámetro resulta ser mayor que el diámetro original de la pelota (más o menos, π/2=1.57, un 57% más grande) ¿Por qué? Porque no es lo mismo “distancia” que “tamaño”.

¿Cuál es el camino más corto entre Madrid y Sydney? El camino más corto es de unos 13.000 Km, en línea recta… a través del planeta. Sin embargo, si coges un avión directo y sin escalas, recorrerá unos 21.000 Km, en una trayectoria curvada sobre la superficie.

Por motivos tecnológicos, viajamos sobre la superficie del planeta. Y por motivos prácticos, medimos las distancias sobre esa misma superficie curva, en vez de medir la distancia más corta en línea recta a través del planeta.

En cambio, cuando hablamos del tamaño de una cabeza (o del tamaño de una pelota), estamos pensando en la longitud una línea recta que la atraviesa de parte a parte, como si quisiéramos ir de España a Australia a través del planeta por el camino más corto posible. Al cubrir esa cabeza con una sábana, ésta se adapta (como buenamente puede) a la superficie curvada, y al dejar su marca, se queda marcado un camino más largo y curvado, como el que recorrería el avión alrededor del planeta. Al estirar la tela, inconscientemente comparamos dos cantidades que rara vez van a ser iguales: el “tamaño” del objeto original, y el “perímetro” o “distancia recorrida sobre su superficie”. Por eso decimos que la imagen presenta una distorsión. Una sábana cubriendo un cuerpo se va a adaptar a su superficie, pero no a su tamaño.

Un ejemplo clásico son los mapamundis, donde se intenta representar en una hoja plana la geografía de nuestro planeta [casi]-esférico.

Es inevitable que los continentes aparezcan deformados. Según la representación que se escoja, serán unos u otros, pero es inevitable.

Veamos ahora algunos ejemplos en la sábana:

Según los sindonólogos, las rodillas y tobillos se hallaban flexionados debido al rigor mortis que el cuerpo adquirió mientras aún estaba en la cruz. Algunos sindonólogos han hecho estudios para calcular los ángulos de rodillas y tobillos, y han llegado a estos valores:

Pero como hemos dicho (y otro sindonólogo nos ha mostrado anteriormente), la sábana se adapta a la superficie que recorre. Por la parte superior, la sábana se iría adaptando al cuerpo, mientras que por la inferior, la gravedad haría que se adaptará a la piedra (o superficie donde estuviera apoyado el cuerpo) en un recorrido más recto.¿Qué quiere decir esto? Que la tela recorre más camino por arriba que por abajo. Por tanto, la imagen frontal debería ser más alargada que la imagen dorsal:

Sin embargo, si uno coge una imagen de la sábana, puede medir ambas imágenes, obteniendo 1.960 (± 0.008) metros para la frontal, y 2.064 (± 0.003) metros para la dorsal… y eso que en la imagen dorsal la cabeza no parece estar completa, como sí lo está la frontal.

Se pueden hacer medidas “on line” de la sábana, en esta web. Basta pinchar en dos puntos, y la web (que según dicen tienen la imagen calibrada) nos da la distancia entre ambos puntos.

La resolución es de 1.9 milímetros por píxel. Es recomendable hacer la misma medida varias veces, ya que es difícil pinchar con el ratón dos veces en el mismo punto. Es difícil que dos personas hagan la misma medida exacta, pero si hacen varias, y calculan la media y desviación, entoces los valores sí deberían ser muy similares.

Los sindonólogos, no discuten este hecho, y las medidas que dan es de 1.95 metros para la imagen frontal, y 2.02 metros para la dorsal (G. Fanti, 2001)

Sin duda, un hecho sorprendente, por mucho que el sindonólogo juegue luego con los ángulos para intentar demostrar que ambas imágenes son compatibles, y que la altura real del supuesto cuerpo envuelto era de 1.75 metros.

Tomando los ángulos que calculan los sindonólogos como referencia, una de las diferencias en tamaño entre ambas imágenes debería estar en las piernas. La presunta flexión hace que por arriba la sábana siga su contorno, mientras que por debajo, no.

Las cuentas son de las simples en trigonometría, y dan que las piernas deberían ser un 2% más cortas en la imagen dorsal que en la frontal. La imagen dorsal debería ser (como mínimo) un 2% mas corta que la frontal, que puede parecer mucho, poco, o insignificante, pero el asunto ya no es tanto cuánto está de distorsionada la imagen, sino que la distorsión aparece en la sábana en sentido contrario al que debería aparecer (La imagen dorsal es un 3.5% más grande que la frontal, según las medidas de G. Fanti)

Otro ejemplo: La planta del pie derecho mide 19.6 ± 0.3 cm. Suponiendo que la planta hace un ángulo de 34º ± 2º respecto la horizontal (según calcula G. Fanti), el tamaño “real” del pie sería entonces de unos 23.6 ± 0.9 centímetros (trigonometría básica de nuevo). Este pie corresponde a una talla entre 37 y 40 en España, según la normativa europea lo que para un hombre de 1.75 metros es un pie pequeño.

(Para tallas de calzado en otros países, ver esta tabla.

Y aquí, para calcular tallas y longitudes del pie)

Y otro ejemplo más, esta vez en la imagen frontal del cuerpo. Nos vamos a centrar en la cabeza de la imagen, y más concretamente en la frente. Obliguemos a un becario a presentarse voluntario para estudiar su cabeza. Vemos su frente y medimos su tamaño (es decir, la distancia de un extremo a otro en una proyección perpendicular, ignorando su curvatura, o como si le atravesáramos con una regla de lado a lado). Esta distancia es de 8.8 cm.

Si cubriéramos con una tela la cabeza, ¿Qué distancia se quedaría marcada en ésta cuando la estiráramos? Para responder, cogemos una tira de papel, la colocamos alrededor de la cabeza, y medimos el perímetro: 10 cm. Es decir, un tamaño de 8.8 cm, resultan ser 10 cm de perímetro, 1.13 veces más (un 13% de aumento)

Veamos ahora al hombre de la sábana. Medimos la misma distancia que hemos medido en la cabeza del becario, y vemos que la medida está en torno a los 8.9 ± 0.2 cm, prácticamente coincidente con el tamaño de una cabeza de verdad (de un becario de 1.73 cm, comparable con un presunto hombre de 1.75 m)

Ahora bien, la medida sobre la tela es una medida sobre una superficie curvada, y por tanto, el valor a comparar son 10 cm, la medida del “perímetro” de la frente. Si queremos saber el tamaño real de esa frente, es necesario corregir la distorsión del 13%; esto es, si la sábana cubría una cabeza que deja una marca de la frente de 8.9 cm, su frente debía medir realmente 7.8 cm. Es decir, que si la sábana cubrió realmente un cuerpo, esa persona tenía una cabeza pequeña.

Nótese que hemos escogido sólo una parte de la frente, que además es la parte menos curvada de ella. Hemos supuesto el caso en que la sábana está sobre la cabeza, y cae por acción de la gravedad sobre ella, de forma que la zona de la frente que hemos considerado es la que aproximadamente estaría en contacto directo con la sábana.

Las distorsiones pueden no parecer muy grandes. Son un 13% de un lado, un 2% de otro,… pero son pequeñas cosas que irían sumando en caso de estar presentes en la imagen. En particular, serían más llamativas las relacionadas con superficies curvadas como la frente, las piernas, las rodillas flexionadas, los brazos, etc, que las relativas a longitudes de cuerpo, brazos o piernas. Sin embargo esas distorsiones, o no están (caso de la frente), o aparecen en sentido contrario al esperado (tamaño de las dos imágenes), o las correcciones aplicadas no producen resultados lógicos (planta del pie).

Estos resultados deberían ser la prueba de que esa imagen no la pudo dejar un cuerpo envuelto en una tela, porque no se muestran las deformaciones que cabría esperar.

La sábana milagrosa: 1. La formación de la imagen

2008-07-10T11:02:00.013+02:00

Esta entrada forma parte de una serie dedicada a la Sábana Santa. Se recomienda leer las partes precedentes a ésta.

La sábana milagrosa:
0. Introducción
1. La formación de la imagen
2. Distorsiones en 2D
3. Representación en 3D
4. Apéndice: absorción de luz en un medio saturable

Una preocupación de sindonólogos y no sindonólogos es cómo se formó la imagen de la sábana santa. Al descifrarlo, los segundos creen poder demostrar que no es más que una pintura medieval, ya que complementaría otros datos experimentales, como la datación por Carbono 14 en 1988, o los pigmentos encontrados por Walter McCrone, que ya señalan tal origen.

Los primeros en cambio, creen que así podrán encontrar algún dato relevante para demostrar que la sábana cubrió el cuerpo del hijo de Dios, y proponer una hipótesis para entender cómo resucitó.

Los sindonólogos no tienen claro como se formó la imagen. Eso sí, aparentemente la tienen muy bien caracterizada, y recopilan todas sus características en 143 puntos, recogidos en este artículo:

Evidences for testing hypotheses about the body image formation of the Turin Shroud

Según ellos, cualquiera que crea que la sábana no es auténtica, y pretenda reproducirla, debe satisfacer las 143 características para que al menos, empiecen a pensar en la posibilidad de que, a lo mejor, quizás, hubiera que prestar atención a esa opción en su tiempo libre.

A lo largo del tiempo, han habido varias hipótesis, y de lo más variopintas. Está por ejemplo, el “hombre mecánicamente transparente” de Jackson: la sábana atravesó el cuerpo de Jesús, y durante el proceso, éste emitió una radiación ultravioleta que dejó la imagen.

Los hay que dicen, como Rogers, que los vapores de los productos de descomposición formaron la imagen. Claro, que cuando uno piensa que Jesús se presentó ante sus discípulos días después, cree entender por qué no le reconocieron, aunque no el por qué no salieron corriendo.

Luego está la hipótesis de la “Fotografía Kirlian”, sólo que ellos la llaman de descarga de corona (aunque ya sabemos que ese es precisamente el fenómeno que se vende como “fotografía Kirlian”). Según los sindonólogos Fanti, Lattarulo, y Scheuermann en 2005, es la más probable. En realidad, esta teoría data de los 80, y se combinaba con distintos fenómenos para justificar el campo eléctrico necesario para crear la descarga eléctrica: un terremoto, propiedades piezoeléctricas del cuarzo sobre el que reposaría el cuerpo, rayos en bola…

Aunque la teoría más extendida, y/o divulgada es la que el mismo Fanti antes de 2005 catalogaba como la más creíble: el cuerpo emite una radiación “lumínica” energética, intensa pero breve, que afecta a la sábana, haciendo que se oscurezca formando la imagen.

A pesar de la actual preferencia de Fanti, la radiación que emana del cuerpo sigue jugando su papel en la hipótesis de la descarga eléctrica. No se ha descartado la emisión de radiación. Lo que ha hecho es añadir la descarga eléctrica a la hipótesis, en parte para explicar el hecho de que los pelos aparezcan en la imagen como si se hubieran empleado cantidades industriales de laca y gomina, en vez de estar colgando hacia atrás. La razón: en presencia de un campo electrostático, los pelos se erizan.

Aquí, el sindonólogo Oswald Scheuermann en plena investigación de la hipótesis de la descarga de corona.

Así que, resumiendo, el mecanismo de formación de la imagen más extendido es más o menos el siguiente:

- El cuerpo emite una radiación luminosa (es decir, electromagnética en el rango del visible).

- La radiación (a lo mejor en combinación con una descarga eléctrica) afecta a la parte más superficial de las fibras de la tela. - La tela se oscurece (o “amarillea”), dando lugar a la imagen.

- La distancia entre el cuerpo y la sábana afecta a la cantidad de radiación que recibe la tela, y así la cantidad en que se ha oscurecido la sábana se puede relacionar con la distancia a la que tenía el cuerpo en ese punto, y por ende con la “tridimensionalidad” ó “volumen” que se observa al representar en 3D los niveles de “oscuridad” de la imagen.

Vayamos por partes, como las integrales.

Asumiremos el milagro de la emisión de radiación energética intensa pero breve. No vamos a ver si eso es o no posible, sino a desarrollar la hipótesis, tirar del hilo, ver qué pasaría con la radiación de ser posible tal emisión milagrosa, y un poco ver cómo ha sido el proceso que los sindonólogos han seguido para ir modificando la hipótesis a medida que las leyes de la física decidían no colaborar.

La propagación de la radiación electromagnética tiene sus reglas. Estas reglas las llamamos “óptica”, y sirven por ejemplo, para saber cómo recoger la luz que emana de un objeto, para formar una imagen de él en otro lugar. Los dispositivos que hemos inventado para ello son las “lentes”. Pero junto con el santo cuerpo, no se envolvió ningún tipo de lente, ni nada que pudiera actuar como tal. ¿Qué le ocurrirá entonces a la radiación emitida por el cuerpo? Pues depende de lo que supongamos.

Empecemos por suponer lo más sencillo, natural, y para nada milagroso (suficiente milagro es ya que un cuerpo emita una extraña radiación): cada punto del cuerpo emite radiación en todas direcciones. Lo hace el Sol. Lo hace una bombilla cualquiera. Es lo habitual: ninguna molécula, o átomo tiene noción de qué es arriba, abajo, izquierda, derecha, frente o atrás: cualquier dirección es buena para emitir un rayo de luz, y por eso se emite en todas las direcciones.

El resultado es que sería imposible obtener una imagen nítida y enfocada.

Cuando se quiere proyectar una imagen de un objeto emite (o refleja) luz en todas direcciones, una lente recoge la luz que sale de cada punto del objeto, y la concentra de nuevo en un sólo punto en una pantalla donde vemos la imagen final proyectada. Pero sin lente, a cada punto de la pantalla le llegan rayos desde todos los puntos del objeto que emite luz. Cada rayo lleva información acerca del punto del que salió. Pero sin la lente, esta información se entremezcla, y es imposible separarla para obtener una imagen enfocada.

Un pequeño experimento casero. Busca y encuentra:
-Una linterna
-Un papel blanco
-Una cartulina negra
-Un folio blanco
-Una lente

Recorta un muñeco en la cartulina. Pega el papel blanco detrás de la cartulina. Colócalo justo en la ventana de la linterna, enciéndela, y dirige la luz hacia el folio blanco: sólo verás una mancha de luz. La luz de la linterna, al llegar al papel, se dispersa y sale en todas direcciones. Es como si el muñeco recortado fuera el cuerpo, y el folio la sábana.

Como ya hemos dicho, no se ve nada porque la luz sale del papel en todas direcciones, y todos los rayos se entremezclan al llegar al folio.

Si ahora colocas la lente entre medias, al acercarla o alejara en algún punto conseguirás obtener la imagen del muñeco (aunque invertida). La lente recoge la luz, y la vuelve a concentrar para formar la imagen.

Una cosa más que se puede comprobar, es que sin la lente, al acercar la linterna al folio en blanco, conseguirás ver el muñeco sólo cuando hagas contacto entre la linterna y el folio. Al hacer contacto, estás evitando que la luz se disperse antes de tiempo, y por eso la imagen se puede ver en el folio: a cada punto del folio sólo le llega luz de un solo punto de la fuente de luz: la imagen sale enfocada.

¿Qué le ocurre a la imagen de la Sábana Santa? Toda ella está enfocada. Sin embargo, sólo aquellas zonas en que la sábana tocaba el cuerpo podría haber dejado una imagen así. En cambio, aquellas que no estaban en contacto, como mucho podrían haber dejado únicamente una mancha difusa, sin que se aprecie detalle alguno: la punta de la nariz podría verse, pero de los ojos sólo se vería un tenue manchurrón. Se vería bien la rodilla, pero no la espinilla, sino un manchurrón más alargado y más gordo que la pierna que aparece.Y de la imagen dorsal en contacto estaría la cabeza, parte de la espalda, el culo, y los talones, pero no las piernas, ni las plantas de los pies. Respecto a los brazos y codos, que tampoco estarían en contacto con esa parte de la sábana, los agujeros en la tela debidos a los incendios que sufrió han eliminado esa parte del dibujo, pero me atrevo a decir que estaban ahí.

Esta imagen representa cómo estaría envuelto el cuerpo, según los sindonólogos. Comprueba como las zonas de no-contacto aparecen en la imagen de la sábana.

Según los sindonólogos, el rigor mortis evitaría que los brazos se cayeran por gravedad, al igual que las piernas se mantendrían flexionadas.
Las piernas flexionadas se deben a la postura que tradicionalmente se asume y pintan los artistas en la crucifixión. Ahora falta que nos cuenten si hubo que partirle los brazos a Jesús para ponerle en esa postura, dónde están las marcas correspondientes, y por qué los brazos no intentaron volver a su posición anterior, debido a ese mismo rigor mortis.

Por otro lado, una radiación en todas direcciones también tendría que haber dejado alguna mancha proveniente del lateral del cuerpo. Y no hay ninguna.

Así que una radiación que se dispersa en todas direcciones no parece ser posible para haber generado la imagen.

Hemos llegado pues, al primer obstáculo. Podemos suponer que la óptica dejó milagrosamente de funcionar en aquel momento. O podemos no ser tan drásticos, y complicar sólo un pelín más el milagro, llegando a la misma conclusión que los sindonólogos: la radiación se emitía en una única dirección, la vertical. Así evitamos el problema de la nitidez de la imagen, y también de la falta de imagen lateral.

No entraremos a evaluar si existe un mecanismo que hiciera que la luz se emitiera sólo en vertical, como tampoco si hay un mecanismo que hace emitir la radiación al cuerpo. Es parte del milagro que hay que asumir (y posteriormente demostrar si la condición imaginada produjera los resultados observados)

Un segundo experimento casero: si a la cartulina de antes no le pegamos el papel blanco, estaremos produciendo una situación parecida a la propuesta. La bombilla de la linterna produce luz en todas direcciones. Sin embargo, tiene un espejo curvado detrás que hace que sus rayos vayan todos en una misma dirección (más o menos).

Ahora, la luz que no es bloqueada por la cartulina, no es dispersada por el papel blanco, y por eso a un mismo punto final no van a llegar rayos que habían salido de puntos distintos: por eso aparece una imagen.

Si los rayos de luz de la linterna fueran todos exactamente paralelos, la imagen final tendría el mismo tamaño que la forma original. Como no lo son, la imagen aumenta de tamaño al alejar la linterna del folio que sirve de pantalla. Se supone que esto no le pasa a la imagen de la sábana santa.
En esta prueba hay que obviar también la no uniformidad de la intensidad de la luz, que es debida a la propia linterna. Se supone que el cuerpo emite de forma uniforme. Sólo estamos comprobando bajo qué circunstancias aparece una imagen bien definida

¿Tenemos entonces por fin una coherencia entre nuestro milagro supuesto y lo que se aprecia en la sábana? No tan rápido, porque la forma de propagación de la radiación afecta a cómo ésta pierde intensidad según avanza, lo cual se relaciona con el detalle y contraste de la imagen final (y también con cómo se genera posteriormente la imagen en 3D)

El primer caso (radiación difusa), en el caso más ideal, se llama “onda esférica”:

Una fuente “puntual” (infinitamente pequeña) emite luz. Por la simetría geométrica de la situación, no hay direcciones especiales: no hay diferencia entre derecha, izquierda, arriba, abajo, delante o detrás, por lo que todos los rayos salen en todas direcciones. La intensidad de la radiación se reparte entonces en torno a una esfera, cuyo centro es la fuente de la radiación.

Para entender más claramente por qué y cómo varía la intensidad al propagarse la luz en una onda esférica, supón que los rayos de luz son en realidad pequeñas bolitas (si a alguien esto le suena a mecánica cuántica, que no se asuste, que es lo más lejos que vamos a llegar). En un instante de tiempo dado, la fuente de luz puntual emite por ejemplo, 10000 de estas bolitas. Como ninguna sabe si existe una dirección especial, y todas viajan a la misma velocidad, se ordenan de forma homogénea, formando una esfera alrededor de la fuente. Las bolitas están muy juntitas, de forma que si colocas una copa al lado, y cuentas cuantas bolitas puedes recoger en ella de una sola vez, te saldrá un número determinado (10 por ejemplo).

Al cabo de un tiempo, las bolitas que se desplazan a la velocidad de la luz han avanzado en línea recta, alejándose todas de la fuente, y ahora forman una nueva esfera con un radio mayor. La superficie de esta esfera es también mayor, pero el número de partículas es el mismo (10000), por lo que ahora están más separadas. Si colocamos la misma copa de antes, a ver cuantas bolas recogemos de una vez, resulta que en vez de 10, son un número menor, 5 por ejemplo.

Es decir, nuestra copa (que hace las veces de detector), abarca sólo una pequeña parte de la superficie de la esfera que forman las bolitas de luz (fotones), y cuenta “cuantas bolitas hay en esa pequeña región de la superficie”. Esto es la intensidad: el número de fotones [que cada segundo] llegan a un área fija determinada. Como al propagarse la luz el tamaño de la esfera que forman los fotones aumenta, pero el número total de fotones es constante, eso quiere decir que cuanto más lejos pongamos el detector, menos fotones llegarán al área determinada por éste: la luz ha perdido intensidad.

Si el número de fotones por segundo que emite la fuente es I₀, y la superficie de una esfera de radio r es 4πr², los fotones se reparten uniformemente, y en cada unidad de superficie hay I₀/(4πr²) fotones. La intensidad decae de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Lo cual a la mayoría debería sonarle familiar.

¿Qué ocurre en el caso de la radiación vertical? Ese caso corresponde a lo que idealmente se llama “onda plana”, o “radiación colimada”: los fotones se reparten en el área determinada por un plano que es perpendicular a la dirección de propagación. Los fotones avanzan ahora paralelos entre sí, por lo que no se van a separar ni acercar, y el área del plano que forman será siempre el mismo. Si colocamos la misma copa del ejemplo anterior para recoger fotones, dará igual colocarla antes o después, porque siempre recogerá el mismo número de fotones.

En una onda plana, los rayos de luz son todos paralelos, y según avanzan, nunca se separan o acercan. De esta forma, la intensidad nunca disminuye ni aumenta, es siempre constante. Este tipo de propagación se puede conseguir, por ejemplo, colocando una rendija en el camino de una onda esférica (de forma parecida a cómo hacíamos colocando una cartulina en la linterna). La rendija bloquea unos fotones, y deja pasar otros. Cuanto más fina sea, los fotones que pasan son cada vez menos, pero también tienden a ser cada vez más paralelos entre sí. Esto es lo que se llama “colimar” un haz de luz. Otra forma de conseguir ondas planas es con lentes, aunque lo habitual es combinar rendijas y lentes para obtener haces de luz bien colimados, y con una buena intensidad.

Las ondas planas son típicas de un láser: sus rayos de luz son (casi) perfectamente paralelos, por lo que apenas pierden intensidad. Se puede apuntar con un láser a distancias lejanas (50-100 metros), y observar el punto con buena intensidad, y un tamaño un poco mayor que si apuntara a un objeto cercano. Si se compara con la luz de una linterna, o del flash de una cámara de fotos, el haz de luz alcanza una corta distancia (5-10 metros) porque pierde intensidad, debido a que los rayos de luz se están separando demasiado rápido, pero por otro lado da lugar a que el tamaño del haz se expanda con rapidez e ilumine un área más grande

La disminución de intensidad con la distancia es más una consecuencia geométrica que una ley física. Por eso tampoco es de extrañar las coincidencias con fenómenos como fuerzas eléctricas o gravitatorias, que también dependen inversamente del cuadrado de la distancia.

Simplificando: si los rayos de luz se separan, la intensidad disminuye. Si se unen, aumenta. Las ondas esféricas separan sus rayos. Las lentes, los pueden unir y separar. Las ondas planas mantienen la distancia entre sus rayos.

Después del rollo este, llegamos a lo que realmente nos importa en nuestro caso. La propiedad de las “ondas planas” de no perder intensidad resultaría ser responsable de que no viéramos detalles en la imagen en la sábana.

Los detalles de la imagen se pueden ver debido a los distintos niveles de oscuridad en la sábana, que dan el contraste para ver ojos, barba, brazos, etc… Este contraste de oscuridad es provocado porque las fibras de la tela reaccionan más o menos (se oscurecen más o menos) según la intensidad de la radiación, debido a las distintas distancias cuerpo-sábana que la radiación recorre. Pero hemos dicho que una onda plana lleva igual intensidad, independientemente de la distancia recorrida.

Por tanto, independientemente de la distancia recorrida, a cualquier punto de la sábana le llegaría igual cantidad de radiación, y no podrían registrarse distintos niveles de oscuridad, sino que sólo se vería ¡una mancha uniforme con la silueta del cuerpo bien definida! (Matiz: siempre y cuando la sábana estuviera perfectamente plana, flotando sobre el cuerpo. Más adelante veremos por qué)

Tenemos entonces dos extremos: Una onda plana genera una imagen nítida, pero como no pierde intensidad, la imagen no tiene el contraste necesario para generar detalles. Una onda esférica pierde intensidad y puede dar contrastes debidos a la distancia cuerpo-sábana, pero desenfoca la imagen.

Por supuesto, esto son casos “ideales”. Hay casos intermedios a los que algún sindonólogo intentaría agarrarse como clavo ardiendo, pero que presentan otros problemas: por ejemplo, en la emisión de una linterna, los rayos no son perfectamente paralelos y se separan unos de otros; la separación hace que la intensidad disminuya con la distancia. Si se ilumina un objeto cercano, recibirá más intensidad que si el objeto está un poco más allá. Y si está muy lejos, ni siquiera será iluminado. La forma en que varía la intensidad será más o menos fácil de calcular según cada caso.

En el segundo experimento con la linterna, veíamos la imagen recortada proyectada de forma razonablemente nítida; si os apetece entreteneros, podréis comprobar que cuanto más lejos se haga la proyección, menos intensa será la imagen… pero el problema es que la forma proyectada aumentará de tamaño.

Es decir, una solución intermedia (rayos de luz casi paralelos, o “casi colimados”) produce cambios de intensidad según avanza la luz, porque los rayos se separan. Pero por otra parte, aumenta el tamaño de la imagen, y más cuanto más lejos proyectemos. El resultado final sería una imagen del cuerpo en la sábana deformada: una nariz con un tamaño adecuado, por estar en contacto con la sábana, pero unas cuencas de los ojos agrandadas, por estar en profundidad.

Si intentamos corregir esta deformidad haciendo los haces de luz más paralelos, perdemos contraste de imagen por la menor pérdida de intensidad. Si intentamos ganar contraste con los detalles dispersando más la luz, la imagen se agranda, se deforma, los rayos de luz comienzan a solaparse, mezclarse, y se llegará a obtener finalmente una mancha borrosa, como si tuviéramos una luz emitida en todas las direcciones (como el primer caso que hemos tenido en cuenta)

De nuevo, las leyes de la física nos ponen la zancadilla. Ante esta circunstancia, los sindonólogos optan por cuadrar el círculo:

Asumir que la radiación era una onda plana (que se propaga sólo hacia arriba y hacia abajo), pero que pierde intensidad en su propagación como si fuera una onda esférica (como la inversa del cuadrado de la distancia).

Pero por si pareciera poco, además la intensidad con que sale la radiación del cuerpo obedece una “ley del coseno” un tanto peculiar: la intensidad depende del ángulo entre la perpendicular de la superficie del cuerpo, y la vertical.

La circunferencia de la anterior representa el contorno de una pierna. En cada punto, la superficie forma un ángulo Θ con la vertical. Según esta “ley del coseno sindonológica”, la radiación se emite sólo en vertical, con un valor inicial en cada punto que depende del coseno de Θ, y que disminuye su intensidad con la inversa del cuadrado de la distancia que recorre hasta la sábana.

Este añadido corresponde a unos resultados experimentales, según los cuales, la intensidad de las piernas en un corte transversal, se pueden describir con una función coseno.

A partir de ahí, sin necesidad de comprobar que otros puntos de la imagen cuerpo cumplen la misma “regla”, se asume para toda la imagen.

Sí que existe una ley del coseno [de Lambert], que en sí misma no es extraña, sino muy corriente. Se aplica tanto a superficies emisoras de luz, como a superficies que absorben esa radiación. Y es responsable, por ejemplo, de que existan las estaciones del año, y que además estén cambiadas en los hemisferios norte y sur.

Un detector tiene una superficie finita determinada y en ella inciden los fotones para “contarlos”, y así medir la intensidad. El número de fotones que va a contar, depende del área de su superficie. A mayor área, más fotones caben, y más se pueden contar. Si el área está perfectamente perpendicular respecto del haz de fotones, el detector presenta toda su área al haz, y recogerá todos los que puede. Pero si está inclinado respecto al haz incidente, presenta menos área al haz, y por tanto, recoge menos fotones. El “área efectiva” que presenta el detector, se relaciona con el coseno del ángulo que forma el haz incidente con la perpendicular del detector. El caso más extremo es cuando la superficie del detector es paralela al haz: no podrá recoger ningún fotón. Un dibujo lo deja más claro:

El eje de rotación de la tierra está inclinado 23º. Por eso vemos al Sol más alto en verano, y más bajo en invierno. También hace que los rayos en verano lleguen más perpendiculares a la superficie, y en invierno más inclinados: como resulta de la ley del coseno, con los rayos más perpendiculares la intensidad de luz solar es mayor, y se calienta más el suelo, mientras que en invierno, la mayor inclinación de los rayos calientan menos. Como estas inclinaciones dependen de la latitud, cuando en el hemisferio norte los rayos son más perpendiculares, en el sur son más paralelos, y viceversa, y por eso las estaciones están cambiadas entre hemisferios.

Si hablamos de la ley del coseno para fuentes de luz, hay que partir de que esta fuente tiene una superficie determinada. La superficie se puede imaginar como formada por infinitas “fuentes puntuales”, que emiten en todas las direcciones. Entonces, a un punto del espacio dado, llegan rayos desde todas y cada una de las fuentes puntuales. ¿Qué intensidad total llega a ese punto? La suma de intensidades desde todos los puntos emisores, teniendo en cuenta la intensidad que han perdido en el camino, y que cada rayo ha seguido un camino ligeramente distinto. Las cuentas no son fáciles de hacer, pero al final, la intensidad que llega depende, por un lado de la inversa al cuadrado de la distancia, y por otro del coseno ángulo que hay entre el punto, y el centro de la fuente:

Espero que el dibujo suene familiar. Es parecido al de la primera prueba, con la linterna y el papel para difuminar la luz. Por lo que no hace falta argumentar mucho que una estricta aplicación de la ley del coseno [de Lambert] al problema de la Sábana Santa no produciría imagen alguna: ¡ya lo hemos comprobado experimentalmente!

La diferencia entre la ley del coseno [de Lambert] y la ley del coseno [sindonológica] es evidente. La primera tiene en cuenta la dispersión de la luz en todas direcciones. La segunda, supone una emisión en una única dirección, con intensidades que varían según el ángulo entre la vertical y la perpendicular a la superficie del cuerpo. Algo, que así a bote pronto, no parece responder a ninguna ley física, que quizás sólo se pueda hacer fabricando algún material ad hoc con una geometría calculada muy exacta, y muy heterogéneo en sus propiedades para poder controlar la transmisión, reflexión y refracción de un haz de luz que lo atraviese. Desde luego, nada que exista en la naturaleza.

Sin embargo, sí se puede (y debería) introducir (y sin apelar milagros) la ley del coseno [de Lambert] para explicar variaciones de intensidad, si la aplicamos no al cuerpo, sino a la sábana: el ángulo que forma cada punto de la sábana respecto a la luz que le llega en vertical (incluso si fuera una onda plana que no pierde intensidad) proporcionaría contrastes y detalles en la imagen. Sin embargo, no he visto aún artículo alguno en que los sindonólogos dejen claro si la usan o no.

Este es el matiz que mencionaba antes: siempre y cuando la sábana tenga arrugas y dobleces para adaptarse a la forma del cuerpo, formará distintos ángulos con la luz que supuestamente llega de forma vertical perfectamente colimada. Entonces sí habría variaciones en la intensidad que absorbe la sábana, pero que responderían a los ángulos entre sábana y haz de luz, y no a la distancia sábana-cuerpo.

Si estuviera totalmente plana (algo imposible), entonces cada punto de la sábana formaría siempre el mismo ángulo respecto a la luz, no habría variaciones de intensidad absorbida, y no habría contrastes.

Hay tanto motivo para suponer tal “ley del coseno sindonológica”, como para asumir que una radiación misteriosa se crea en un cuerpo, que esta radiación es vertical, y a la vez pierde intensidad con la inversa del cuadrado de la distancia: ¡Estamos hablando de un milagro! Es un fenómeno nuevo que la ciencia aún no ha descubierto

Se saben ese…

… del sindonólgo que va y dice:

“aplicando el principio de mínima suposición de la navaja de Occam, se debe simplificar la situación, y seleccionar los hechos más relevantes”
Giulio Fanti, sindonólogo (2005)

Por lo visto, la aplicación de la navaja de Occam a la Sábana Santa nos deja con:

1.- Una radiación misteriosa emitida por un cadáver…
2.- … que se propaga sólo en vertical sin el uso de lentes o artefactos…
3.- … que pierde intensidad como si se propagara en todas direcciones…
4.- … y que la intensidad que sale del cuerpo cumple una ley del coseno que nadie antes había descubierto.

Un tanto peculiar la forma de usar la navaja, sin duda.

La Sábana milagrosa: Introducción

2008-07-10T10:59:00.008+02:00

Pocos objetos dan lugar a tantos milagros juntos como la sábana santa de Turín. Eso, en el caso de haber envuelto el cuerpo de un hombre allá por el Siglo I, y que éste dejara su imagen impresa en ella al resucitar.

Los sindonólogos son personas empeñadas en demostrar la autenticidad de la sábana, entendiendo por “autenticidad” que es una tela que en el Siglo I envolvió el cuerpo de Jesús, y que éste al resucitar dejo impresa su imagen. Tienen sus sociedades (como la STURP), e incluso de vez en cuando cuelan un artículo en revistas serias de peer-review.

Publican, sobre todo gracias a que cuidan su lenguaje para no decir abiertamente lo que creen, sino que se atienen a una neutralidad aceptable, y a una presentación e interpretación de sus datos. Por ejemplo:

G. Fanti, R. Maggiolo, J. Opt. A: Pure Appl. Opt 6 p.491 (2004) , donde se habla de que en la cara anterior de la tela se observa algo que se parece a la imagen frontal, y que han analizado con un algoritmo creado por ellos mismos. Pero no dicen que esa segunda imagen sea prueba de una resurrección milagrosa. Realmente, lo interesante (y/o novedoso) del artículo es el algoritmo, y si es útil para algo, no si esa segunda imagen es prueba de la autenticidad de la sábana.

El principal milagro que se asocia a la Sábana Santa de Turín es la presunta resurrección de una persona. Se dispone de una tela que se puede estudiar para obtener datos, y plantear hipótesis sobre cómo se formó la imagen. El problema viene cuando las hipótesis incluyen la resurrección de un individuo, porque el cuerpo del resucitado no está disponible para su estudio, lo cual es un pequeño gran problema.

Al final, el estudio de la tela se basa en aplicar las leyes de física y química, para averiguar bajo qué condiciones se puede generar tal imagen. Una vez encontradas, entonces hay que plantearse si esas condiciones corresponden a la realidad o no. Si lo hacen, estupendo, porque hemos encontrado una explicación a la imagen basada en la ciencia y no en la fe. Si no lo hacen, entonces hay tres alternativas:

- Asumir que la hipótesis inicial era incorrecta.
- Cambiar el término “hipótesis” por el de “creencia”, y llamar fe a lo que es fe, sin disfrazarla de ciencia.
- Plantearse el demostrar que esas condiciones se pueden conseguir a través de nuevos fenómenos desconocidos, demostrar que estos fenómenos son reales, existen y así aumentar el conocimiento de la naturaleza. Es decir, hacer ciencia.

Claro, si esos fenómenos nuevos incluyen una persona resucitada, existe un problema, ya que no se conoce de ningún resucitado que haya donado su cuerpo al estudio científico. Por lo que con la tercera opción se corre el riesgo de llevarnos a tener que escoger de nuevo entre las dos primeras opciones, sin ya opción a la tercera.

En un debate de creyentes y escépticos, el primero siempre parte con ventaja. Puede imaginar fenómenos nuevos tal y como le plazca. El escéptico sólo se puede limitar a señalar las incoherencias que eso supone, pero claro ¡Estamos hablando de un milagro!, y ante cada incoherencia, para salvarla se puede añadir un nuevo fenómeno imaginario que el conocimiento actual aún no ha alcanzado a vislumbrar, así que no se puede descartar.
El debate puede continuar así hasta el día del juicio final, si no más. En cambio, la demostración de que el milagro imaginario es real, zanja el debate de raíz. Esto enlaza con una cuestión que debería mover a reflexión a creyentes en fenómenos paranormales en general:
¿Hasta cuando hay que mantener o complicar una hipótesis, según se van mostrando sus incoherencias? ¿Cuándo se puede decir que una hipótesis es incorrecta, y podemos abandonarla?.

En esta multientrada (+ apéndice), vamos a entrar en las teorías sindonológicas sobre la formación de la imagen. Vamos a ver cómo los “expertos” según se tropiezan con dificultades que chocan con el conocimiento actual de la ciencia, las esquivan apelando a fenómenos extraños, con tal de intentar encontrar las condiciones que permitirían generar la misma imagen, aunque eso suponga saltarse las leyes conocidas de la naturaleza. Total, es un milagro que la ciencia no comprende. No se puede descartar.

La sábana milagrosa:
0. Introducción
1. La formación de la imagen
2. Distorsiones en 2D
3. La representación en 3D
4. Apéndice: absorción de luz en un medio saturable

Se aparece el OVNI de L'Escala

2008-06-19T10:54:00.001+02:00

Anoche el OVNI de La Escala vino de visita

Y el que diga que era la luna lunera, es un "soplapollas"

La imagen tridimensional del santo trapo

2008-06-09T10:55:00.003+02:00

Dicen que la sábana de Turín envolvió el cuerpo de Jesús. Dicen que ocurrió algún tipo de fenómeno sobrenatural y Jesús resucitó. Dicen que su imagen se quedó grabada en la tela. Y dicen además que esta imagen guarda información tridimensional del cuerpo original.

También dicen que esta característica es imposible de replicar, lo que es una de las pruebas de la autenticidad de la sábana.

(Imágenes 3D obtenidas con el programa Image J, con el plug in "Interactive 3D surface plot")

Los OVNIS británicos

2008-05-23T10:57:00.006+02:00

Hace ya un par de semanas que se dio la noticia: el ministerio de Defensa (MoD) de Reino Unido desclasifica sus archivos OVNI, que se podrán descargar gratis durante un mes.

Acompañando esta información, iba la de que el 90% de los casos tenían explicación, mientras que a un 10% no se le podía encontrar una. Por supuesto, este es el clavo ardiendo al que se agarran algunos para decir que “algo hay”, que hay un “fenómeno real” que debe ser investigado y tal.

Pero, ¿qué es el “fenómeno OVNI”? La primera definición que se me ocurre es: eufemismo para evitar decir “Platillos volantes”

Cade vez más, los creyentes evitan decir lo segundo, pero a la hora de debatir, los argumentos son acerca de lo grande que es el espacio, y que tiene que haber vida en otros lugares del universo. Al final, terminan hablando de ETs (más o menos, igual que los grandes expertos en psicofonías nunca reconocen directamente estar grabando voces de muertos, pero a al hora de la verdad, se comportan como si lo estuvieran haciendo)

Una segunda que se me viene en mente, sería fenómeno por el cual una persona no es capaz de reconocer o identificar la naturaleza de un estímulo generalmente visual. En este segundo sentido, el “fenómeno OVNI” es real, porque así lo confirman el 100% de los avistamientos OVNI: un testigo ve algo que no sabe lo que es, y por eso lo reporta a las autoridades. Es posteriormente, tras una meditación reposada cuando se puede encontrar la naturaleza del OVNI. Al menos en un 90% de los casos, si hacemos caso a las estadísticas.

¿Y qué pasa con el 10% restante? ¿Son prueba de que hay un aspecto de la naturaleza nuevo que se nos escapa? ¿Conocimiento nuevo que hay que adquirir? O dicho abiertamente sin eufemismo de por medio ¿Es prueba de que nos visitan los extraterrestres?

Ya sabemos lo que contestan los ufólogos de miles de kilómetros en las botas. Pero habría que empezar por saber por qué no se puede dar respuesta a un caso concreto. Y las primeras preguntas que creo básico responder serían

¿Hay información suficiente?

¿Se puede buscar (y encontrar) más información?

Sin información suficiente, no se puede elaborar una hipótesis sobre la que basar una explicación. Del 10% de casos no explicados ¿Cuántos lo son por falta de información ?

Volvamos a los expedientes X del MoD. No se cuantos ufólogos habrán tenido el interés en echarles un vistazo. Pero la primera impresión al verlos, es que el porcentaje de casos no resueltos debería ser ¡¡¡del 90%!!!.

La gran mayoría de los “expedientes” desclasificados no son más que el informe de avistamiento remitido al MoD. Es decir, donde el testigo deja constancia de que vio algo que no supo identificar. Es un informe dividido en varios apartados, que se van rellenando con información que no suele ocupar más de una o dos líneas. No hay informe de investigación posterior, ni sobre su posible explicación natural. Por poner un ejemplo, de uno de los ficheros cualquiera, al azar, un documento cualquiera, también al azar (comentarios en rojo y entre corchetes):

Informe de objeto volante no identificado

A. Fecha, hora y duración del avistamiento
162136Z Mayo 85 [16-Mayo-85 a las 21:36 UTC], 45' previo a informar

B. Descripción del objeto (Nº de objetos, tamaño, forma, color, brillo)
Un objeto pequeño y plateado con la parte superior roja y parte inferior brillante amarilla

C. Posición exacta del observador: lugar, interior/exterior, estacionario/en movimiento
Exterior, parado en el jardín

D. Cómo se observó (Ojo desnudo, prismáticos, otro dispositivo óptico, fotografía o película)
Ojo desnudo

E. Dirección en que el objeto fue visto por primera vez (una referencia del terreno será más útil que una mala estimación)
Casi en sobre [la base aérea de la] RAF en Henlow hacia el noroeste

F. Ángulo de avistamiento (Las alturas estimadas no son fiables)
10º sobre el suelo

G. Distancia (en referencia a alguna característica de terreno)
A más de 3 millas, por parecer estar más allá de Henlow

H. Movimientos (Cambios en E, F y G será más útiles que estimaciones de dirección y velocidad)
Se movió rápido a un lado volviendo a su posición original

J. Condiciones meteorológicas durante la observación (nubes en movimiento, niebla, etc.)
Cielo despejado

K. Objetos cercanos (líneas de teléfono, líneas de alta tensión, depósitos, lagos o presas…)
Lagos

L. A quien informó (policía, militar, prensa)
Garita de guardia, Henlow

M. Nombre y dirección del informante
No desclasificado

N. Otra información sobre el testigo
No desclasificado

O. Otros testigos
Esposa

P. Fecha y hora de recepción
162136Z Mayo 85 [16-Mayo-85, a las 21:36 UTC]

Q. Alguna condición meteorológica inusual
Ninguna

R. Notas
El objeto aún se veía al completar este informe.

Y ya está. No hay informe posterior sobre las diligencias practicadas, o investigaciones siguientes. Como se puede ver, la información que se aporta es bastante escueta, y desde luego no incluye la "solución".

En este caso, ha habido suerte, y aún con los pocos datos que hay se puede hacer una hipótesis: larga duración y estático (excepto un rápido movimiento) apunta a causa astronómica. Marte andaba aquellos días a esas horas al Noroeste, cercano al horizonte (10º respecto del suelo, dice el informe). El “movimiento” no pasaría de ser una mala jugada de sus sentidos.

(Esto es una anécdota: hace unos meses me pasó a mí exactamente lo mismo. Estaba observando Marte en todo lo alto. Desvié un momento la vista. Al volver, por un instante me pareció ver que el planeta había cambiado de posición, y volvía a la correcta rápidamente de un salto. Experiencia que no ha cambiado mi vida, ni me ha hecho creer en extraterrestres de veraneo)

Pero hay otros casos en los que no hay esa suerte. Por ejemplo:

A. Fecha, hora y duración del avistamiento
19 Nov 87 1845Z
2 minutos

B. Descripción del objeto (Nº de objetos, tamaño, forma, color, brillo)
Una luz brillante

C. Posición exacta del observador: lugar, interior/exterior, estacionario/en movimiento
Exterior, en movimiento lento

D. Cómo se observó (Ojo desnudo, prismáticos, otro dispositivo óptico, fotografía o película)
Ojo

E. Dirección en que el objeto fue visto por primera vez (una referencia del terreno será más útil que una mala estimación)
Suroeste al centro de Birmingham (Bourneville)

F. Ángulo de avistamiento (Las alturas estimadas no son fiables)
No hay datos

G. Distancia (en referencia a alguna característica de terreno)
No hay datos

H. Movimientos (Cambios en E, F y G será más útiles que estimaciones de dirección y velocidad)
No hay datos

J. Condiciones meteorológicas durante la observación (nubes en movimiento, niebla, etc.)
Noche clara con viento

K. Objetos cercanos (líneas de teléfono, líneas de alta tensión, depósitos, lagos o presas…)
No hay datos

L. A quien informó (policía, militar, prensa)
Oficina meteorológica de Birmingham (sin interés)

M. Nombre y dirección del informante
No hay datos

N. Otra información sobre el testigo
No hay datos

O. Otros testigos
Aproximadamente 6

P. Fecha y hora de recepción
20 Nov 0940Z

Este es un candidato perfecto a informe sin explicación, de los del famoso 10%. Es tan escueto y parco en detalles que no hay forma de aventurar una hipótesis que poder comprobar.

Pero más importante para la discusión: ¿Es este informe un indicio que hay un “fenómeno desconocido”, o que los extraterrestres estuvieron de visita en Birmingham? Absolutamente no.

El informe es tan parco en detalles que no solo no permite aventurar hipótesis. Es que tampoco revela ninguna característica que muestre una anomalía. Digamos que hay tanta evidencia de que fuera un platillo volante, como de que fuera un fenómeno atmosférico totalmente inusual y desconocido para la ciencia… o de que hubiera sido la luz de un helicóptero, un bólido, un foco de luz de un estadio cercano… o un sinfín de hipótesis más que no requieren ser extraordinarias. Pero la dificultad de comprobar todas estas posibles hipótesis perfectamente racionales y razonables, (en realidad sería dar palos de ciego a ver si acertamos con la respuesta correcta) hace que el expediente se tenga que clasificar en el 10% de “no explicados”.

Esto debería mover a la reflexión de los ufólogos creyentes: ¿Cuántos del 10% no se pueden explicar, simplemente porque no hay información suficiente, pero que no implican nada fuera de lo común?

Junto con los informes desclasificados, el MoD también incluye una breve nota de preguntas y respuestas. Algunas de las cuales dicen:

Q1. ¿Por qué los informes de OVNIs se remiten al Ministerio de Defensa?
A1. El gobierno no está interesado en el significado científico de estos fenómenos como tales. El Ministerio de Defensa examina los informes OVNI para determinar si puede tratarse de un avión ilegal en el espacio aéreo de Reino Unido

(…)

Q6. Si los OVNIs no representan una amenaza, ¿no son las investigaciones del MoD simplemente una pérdida de tiempo y dinero?
A6. No. El mantenimiento de la integridad del espacio aéreo de Reino Unido requiere que el Ministerio de Defensa debe satisfacer que ningún objeto volante no identificado sea un avión intruso. Es una precaución elemental y una que requiere poco tiempo del personal. Na hay nadie empleado exclusivamente en examinar informes OVNI

Q7. ¿Cuántos informe OVNI quedan sin explicar?
A7. El Ministerio de Defensa no investiga los informes hasta el punto de que una identificación positiva pueda hacerse.

Estas respuestas muestran (y especialmente la última) que el MoD sólo está interesado en descartar posibles amenazas. No se preocupan por la identificación del fenómeno, sino sólo por descartar una amenaza hostil. Siendo así, lo raro es que se diga que hay sólo un 10% de casos sin explicar (lo que en ningún caso tiene que ver con que la explicación sea de otro mundo)

La desclasificación española

Es de sobra conocido que en 1992, Vicente-Juan Ballester Olmos convenció al Ejército del Aire (EA) para que desclasificara sus informes OVNI. Hace un par de meses que se ha “descubierto un gran pastel” que tiene indignadísimos a los ufólogos con miles de kilómetros en sus botas: resulta que Ballester actuó a modo de consultor científico (en colaboración con otras personas) para intentar acompañar los informes del EA de algún tipo de posible respuesta racional y razonable.

Si comparamos ambas desclasificaciones, los informes británicos sólo son informes escuetos de los que aún hay que trabajar una respuesta. Esto abre las puertas a cualquier ufólogo a meter a los ETs por cualquier lado. Ir a buscar a los testigos, hacerles preguntas tontas, que hagan dibujos, y escribir libros exagerando esos testimonios.

Pero en la desclasificación española, se argumentan posibles soluciones. Y claro, para meter marcianos, hay primero que contraargumentar la respuesta racional, un trabajo bastante complicado de hacer.

Normal que estén cabreados.

La luna en directo

2008-05-05T15:35:00.005+02:00

Hace un par de semanas, Cuarto Milenio dedicó un reportaje a la conspiración lunar... Esta vez tocaba decir que sí se llegó la Luna. Es lo que tiene Cuarto Milenio, que un día defiende que el hombre no llegó a la Luna, y otro que sí, pero que vieron selenitas que se ocultaron al público. Esta evidente contradicción no parece ser aliciente suficiente para que el capitán de la nave del misterio investigue (de verdad) y esclarezca cual de las dos versiones es verdadera, dado que ambas no pueden serlo simultáneamente.

La conspiración de ese día estaba relacionada con un tal Alan Davis, al parecer ingeniero de telecomunicaciones al servicio de la pérfida NASA, que el día del alunizaje del Apollo XI tenía la importante misión de ser el primero en recibir las imágenes que emitían los astronautas, registrando ese pequeño paso para el hombre y grande para la humanidad, pero que según Davis, ya habían dado los extraterrestres.

Sin entrar en mucho detalle (por aquí pueden ver un resumen, y si les interesa, por Youtube seguramente esté el video), Alan Davis presuntamente recibía las imágenes directamente desde la Luna en un centro de control en la isla de Antigua. Antes de enviarlas a Houston, para su libre distribución al mundo mundial, se introducía un retardo de 10 segundos, para eliminar escenas que no fueran apropiadas. Y esas escenas resultaron ser construcciones alienígenas en la Luna.

¿Verdad o ficción? ¿Iker Jiménez sigue con su habitual rigor informativo?

Hace ya varios años , cogí una película del videoclub que me pareció intersante por el título y la sinopsis: "La luna en directo" (The Dish, en su título en inglés):

Un observatorio de Australia resulta ser encargado de recibir las primeras imágenes enviadas desde la Luna, y enviarlas a Houston. Si la historia es real, el tal Davis, en Antigua no parece pintar mucho. Así que recordando ahora la película, inicio una gran himbestigación de sillón y guguel, y que sean los electrones los que hagan los kilómetros por mí.

Efectivamente, a película está basada en los hechos reales. El observatorio que recibió las primeras imágenes de la Luna está situado en el pequeño pueblo de Parkes, en Australia. Tienen un observatorio equipado con una gran antena parabólica ("The dish") , y una página web. Buceando en ella (no mucho la verdad) , se puede encontrar la sección dedicada a su colaboración en el proyecto Apollo XI, y un artículo dedicado a las transmisiones de televisión.

Es un artículo interesante, para quien le interese la parte técnica. Las imágenes eran enviadas en un formato específico (Slow Scan TV, SSTV), que era necesario convertir a un formato más stándard para su difusión en televisión. Esta conversión se hacía en Australia, antes de enviar las imágenes a Houston. En otro rinconcito muestran la diferencia entre la imágene recibida en SSTV, y la imágen una vez convertida (que perdía nitidez)

Tras la conversión, las imágenes se enviaban a Houston donde se introdocía un retardo de 6 segundos. Sin embargo, en Australia, la imagen se transmitía directamente tras la conversión, sin esperar la transmisión a de Houston. En Australia vieron el alunizaje 6 segundos antes que el resto del mundo.

Si se hubiera filmado alguna anomalía, alguna construcción selenita, algún extraterrestre haciendo burla a la cámara... los australianos lo hubieran visto

No sé si el tal Alan Davis era o no ingeniero de la Nasa. No se si estuvo en un centro de control de la NASA en Antigua. Pero sí sé que no fue el primero en recibir las imágenes, que él no introducía ningún retardo en las imágenes, y que cualquier anomalía se hubiera visto en vivo, en directo y sin censuras en Australia.

Y con sólo cinco minutos de google.

¿Alguien le podría enseñar a Iker a usarlo, por favor?

El gran pollo zombi

2008-04-14T09:10:00.005+02:00

Para celebrar el tercer aniversario de la apertura de este antro de perversión, nada como un viajecito en busca del misterio. Y lo encontramos esta vez en la ciudad alemana en territorio francés de Estrasburgo. Sí, es alemana. Lo que pasa es que se la ha quedado Francia, pero la estética de la ciudad es claramente germánica. Incluso los nombres de las calles están en alemán, con subtítulos en francés.

Pues allí andaba yo, calándome bajo la pertinaz lluvia, en busca del misterio, visitando los edificios europeos, hasta que llegué al zoo en el parque de l'orangerie.

Allí estaba. Parecía dormido, pero una cuidadosa inspección ocular cercana me reveló una aterradora realidad, la mirada totalmente en blanco de este pollo...

...tan característica de los zombis.

Esto si es un documento espeluznante, y no la foto de los albornoces de Iker Jimenez.

La acrobacia del pentágono según un experto

2008-04-04T14:43:00.003+02:00

Hemos hablado anteriormente del vuelo 77 que se estrelló en el Pentágono, y concretamente de la maniobra previa que el terrorista Hani Hanjur hizo: Un giro en espiral descendente de 330º. Una maniobra que algunos conspiranoicos decían imposible porque llevaba el avión a límites físicamente imposibles, como el de sufrir aceleraciones de hasta 10g. Demostramos que era mentira, y que la maniobra no tenía ningún tipo de exigencia respecto al avión. De hecho, era más suave que el llamado “giro estándar”.

Aún así, de vez en cuando aparece alguien diciendo que esa maniobra era imposible de ejecutar por un piloto que apenas podía controlar una avioneta Cessna. Mayormente, porque se lo ha leído a algún experto que dice ser piloto. Así que alguien todavía podría pensar que a pesar de ser una maniobra poco exigente con el avión, quizás se necesite algún tipo de control hábil sobre el aparato.

Expertos hay muchos, y de todo tipo. Y los conspiranoicos argumentan que si tantos expertos dicen lo mismo, algo de razón tendrán. Hay una anécdota de Einstein, cuando éste renegó de Alemania por causa del régimen nazi, el gobierno alemán juntó a 100 científicos que firmaron un escrito diciendo que la teoría de la relatividad era incorrecta. Einstein ironizó y dijo:

-¿Y por qué 100?. Con uno sólo que tuviera razón hubiera bastado.

Giulio Bernacchia es un experto. Ha escrito el recomendable artículo “¡Oh, no!¡Otro experto!”. Lleva volando desde 1979, primero como piloto militar, y luego civil. Tiene experiencia como instructor de simulador y examinador, y actualmente tiene rango de capitán de Boeing 747 Jumbo. Y lo demuestra enseñando sus licencias.

Escribí a Giulio para preguntarle acerca la increíble “acrobacia” de Hanjur, dado que en el artículo mencionado se centra más en cómo pudo pilotar el avión desde que lo secuestró hasta que lo estrelló. Lo escribió antes de que se publicaran los datos de la caja negra, por lo que no tenía los datos referentes al giro. Sus respuestas son claras y simples, y por su interés, le pedí permiso para publicarlas en el blog. Aquí está la correspondencia que tuvimos (originalmente en inglés)

Estimado Giulio

Supongo que estarás harto de emails respecto a tu artículo “¡Oh, no! ¡Otro experto!”, u otras preguntas acerca del avión que se estrelló en el pentágono, así que intentaré no robarte mucho tiempo.

En el acercamiento final del AA77 al pentágono, el secuestrador hizo un giro descendente hacia la derecha de 330º. Algunos teóricos de la conspiración dicen que tal giro es imposible de hacer para alguien que “apenas sabía volar una Cessna” (¡¡algunos incluso dicen que el avión sufrió fuerzas tan altas como 10g!!). Hice mis cálculos tomando los datos del informe del NTSB "Flight path study of AA77", y el giro no me pareció tan difícil: una media de 1.6 grados por segundo, y apenas 1.1g de fuerza. He leído en algún lado que un “giro estándar” se hace con una tasa de 3 grados por segundo. Tengo una duda sobre si el descenso podría haber hecho el giro un poco más difícil.

Así que mi pregunta es si ese giro en descenso de 330º lo pudo hacer el secuestrador, con la poca experiencia que tenía.

También, me gustaría preguntarte por cómo de realistas son los simuladores de PC como el de Microsoft, o X-Plane?? (quiero decir, si soy capaz de mantener volando un avión y hacerlo girar en el PC, ¿podría mantener un avión real también en vuelo, incluso si no se hacer giros coordinados, ni pasar un examen de la FAA?)

Gracias por tu tiempo

Julio

¡Hola Julio!

Aviso: ¡¡¡Este va a ser un email largo!!!!

No te preocupes por las molestias, siempre es interesante intercambiar opiniones. En mi artículo menciono un giro a la izquierda, porque en ese momento es lo que se pensaba que había ocurrido.

Después se descubrió, como mencionas, que Hanjur hizo un giro descendente hacia la derecha.

Todo lo que hizo Hanjur aquel día fue hecho de forma muy ruda, dejó la altitud de crucero (25000 pies) para llegar a 7000 pies en 35 millas, cuando un descenso bien planeado requeriría cerca de 10000 pies (la regla de oro es 300 pies por cada milla náutica). Mantuvo 7000 pies hasta 3.5 millas (el documento del NTSB no especifica si son náuticas o terrestres, pero es no importa mucho), así que de muy bajo, se fue a demasiado alto. Estaba alrededor de 6000 pies más alto, en una posición desde la cual probablemente el avión hubiera sido aerodinámicamente incapaz de descender lo suficientemente rápido para chocar con el pentágono, al estilo de un Stuka. Un cálculo aproximado: perder 7000 pies en 3.5 millas, yendo a, digamos, 300 nudos (5 millas por minuto). Eso hacen 0.7 minutos para perder 7000 pies, lo que hacen 10000 pies por minuto de tasa de descenso. Eso es DEMASIADO, y se podría hacer (quizás) sólo con un control AGRESIVO, operando simultáneamente inclinación, potencia, frenos de velocidad, y quizás el tren de aterrizaje como dispositivo de fricción. Demasiado para un piloto mediocre sin experiencia en un gran reactor.

Así que Hanjur decidió hacer lo que un piloto novato haría, lo fácil, un giro descendente, lento y abierto, de casi 8 kilómetros de ancho, que requería , como encontraste, una inclinación de 30 a 40 grados y algo más de 1 g con poco. Un giro descendente es en cierta forma más fácil que un giro nivelado, ya que no tienes que mantener la altitud, lo que requiere una buena técnica de comprobación (mirar los instrumentos en un orden concreto, e interpertar lo que dicen), junto con una buena técnica de corrección (transformar las lecturas de los instrumentos en los controles, incrementando/disminuyendo inclinación vertical y lateral según se necesite, y de una forma coordinada).

En un (rudo) giro descendente simplemente inclinas la palanca de control, miras fuera para ver dónde vas, y te aseguras que las indicaciones de velocidad vertical permanecen dentro de límites de seguridad, tirando un poco cuando vas muy rápido, y soltando cuando no. No vigilas ningún parámetro en particular, así que es mucho más fácil.

Si intentas un giro nivelado, TIENES que volar con un parámetro fijado, que es una posición fija respecto del horizonte afuera.

Así que Hanjur termina su giro abierto, que el FDR dice que fue hecho un poco brusco, cómo se esperaría de alguien que no es un buen piloto. A 2000 pies y a 4 millas (todavía un poco alto, otra indicación de que no hizo el giro tan bien), aumenta la potencia, y tira hacia abajo, lo que quiere decir que empuja la palanca hacia delante. Su técnica de control es mala, así que lucha con el avión que quiere levantar el morro a medida que aumenta la velocidad, y termina sobrecontrolándolo, y yendo demasiado bajo, tirando farolas, machacando paredes bajas, e impactando el generador. Un piloto profesional hubiera planeado su descenso desde 25000 pies, e impactado el objetivo a un ángulo elevado en el techo, o llegando a baja altura, (más difícil) esquivando todos los obstáculos.

Hanjur hizo todo lo que un novato hubiera hecho, y eso encaja perfectamente con su perfil.

Respecto a la pregunta sobre simuladores de vuelo, Hanjur se encontró con un avión estable en autopiloto, y sólo necesitaba pulsar unos pocos botones en una secuencia apropiada, para hacer que EL AVION navegara a la zona del objetivo. Un FMS es como un navegador de coche TomTom con muchas otras funciones; yo necesito conocer TODAS ellas, Hanjur sólo necesitaba conocer un par de las simples.

Un niño, sacado de su habitación donde ha volado 4000 horas en su simulador de vuelo de PC, aún tendría AÑOS de estudio por delante para, para llegar a ser un piloto DE VERDAD, pero bostezaría durante la semana en las clases donde un instructor usa un PC para mostrar como operar un FMS (eso es lo que hacen las aerolíneas)

Así que, si tienes (1) la "sensación de volar" a través de lecciones de vuelo reales, si tienes (2) algo de tiempo en simulador de un gran reactor( el tipo no es tan importante, siempre que sea "uno grande" para sentir la inercia respecto a una Cessna), si (3) has estudiado las dos o tres secuencias de botones en un PC, sabes todo lo que necesitas para tomar el control de un avión en autopiloto, dirigirlo a un objetivo inmóvil, volarlo manualmente recto y nivelado durante sólo 5 minutos, hacer un giro chapucero en descenso, y estamparte contra un objetivo inmenso, arreglándotelas para acertar por los pelos, y casi caer en el césped.

Hanjur tenía todo lo de arriba, unos CIENTOS de horas de vuelo, e incluso si estás absolutamente por debajo de la media (según el estándar de la FAA...) ¡ciertamente sabes como hacer girar un avión!

Espero que no te haya aburrido mucho, y he contestado todas tus preguntas.

Gracias por escribir,
ciao Giulio

La acrobacia imposible no era tan imposible, y de hecho todo el vuelo se realizó como se esperaría de un piloto con muy poca experiencia. Tan poca experiencia, que casi falla su objetivo, a pesar de tomar precauciones como no hacer un descenso en picado desde 7000 pies, que hubiera sido muy complicado. Y que no fuera hábil pilotando no quiere decir que no estudiara, buscara y conociera los límites del avión que pilotaba. Por ejemplo, en una página de Boeing, accesible a todo el mundo, cuentan como la inclinación de un avión en más de 10º hacia abajo puede ser peligrosa. El picado desde 7000 pies, a 3.5 millas náuticas, requiere una inclinación de 18º

Los conspiranoicos quieren pensar que Hanjur se estrelló donde él quiso, cuando en realidad, se estrelló donde pudo.

Giulio señala tres aspectos necesarios para que Hanjur hubiera podido estrellar el avión.

1) Tener la sensación de volar. Hanjur la tenía. Sus instructores de vuelo que relatan que era mal piloto. Sería malo, pero sabía cual era la sensación de pilotar una avioneta..

2) Tiempo de simulador de un reactor. Hanjur lo tuvo. Probó los simuladores de la Pan Am International Flight Academy en Eagan.

3) Saber manejar el navegador del avión. Algo que se puede aprender en casa con un PC y un simulador como Flight Simulator de Microsoft, o X-Plane

Resulta curioso que los mismos argumentos que los conspiranoicos usan para intentar demostrar que Hanjur no sabía pilotar (básicamente, que sus instructores dijeron que era mal piloto), en realidad lo que demuestran es que Hanjur estaba intentando aprender a hacer lo que dicen que no hizo. De hecho, el mismo instructor de vuelo que no le quiso dejar volar solo en una Cessna, cree posible que Hanjur estrellara el avión en el Pentágono.

Resumiendo, hay “gran cantidad de expertos” que dicen que Hanjur no pudo pilotar un boeing. Hay al menos uno que argumenta cómo pudo hacerlo, a pesar de ser novato. Las pruebas objetivas dicen que las maniobras que realizó eran muy simples, aunque hechas de forma chapucera. Y que Hanjur intentó adquirir los conocimientos necesarios para pilotar el avión.

La cantidad de expertos que digan una cosa u otra, no importa. Importa quien tiene razón, y las pruebas le dan la razón a Giulio Bernacchia.

WTC:Física para un colapso

2008-03-24T08:57:00.019+01:00

Aviso: Esta entrada el larga y densa. Hay datos numéricos, de los que no se presentan los cálculos. Esta misma entrada, con los cálculos incluidos, está escrita en este documento [.pdf]. Recomendaría una lectura tranquila del documento en vez de leer la entrada del blog, pero dejo la entrada por aquellos que no estén interesados en los cálculos, o prefieran una lectura en diagonal.

Introducción

Parafraseando a Paul Dirac, podríamos decir que

Ciencia es coger conceptos complicados e intentar hacerlos fáciles. Lo contrario es charlatanería

Y es que para dar una respuesta basada en ciencia a un fenómeno o situación, es necesario entender el asunto con cierta profundidad. Sólo así se puede presentar un escrito lo más simple posible, pero que no tiene garantizado que sea fácil de entender. Un día, un alumno le dijo a Dirac en clase:

- Esa explicación es la misma que da usted en su libro, pero es muy complicada. ¿Podría por favor, intentar explicarlo de otra manera más sencilla?

Su respuesta fue:

- Si en el libro lo escribí así, y así lo cuento hoy, es porque no he encontrado una manera más fácil de explicarlo

Explicar y entender por qué el colapso de las torres gemelas es posible, requiere hablar de física de materiales, muelles y energías varias (“intentar hacer fácil lo complicado”). En cambio, decir que las torres fueron demolidas con cargas explosivas, presenta una solución de entendimiento rápido y simple, pero que encubre que la complejidad de tal acción hace que la solución más sencilla sea realmente la explicación del colapso (“hacer complicado lo fácil”)

Toda esta introducción es sólo para advertir de que el escrito que va a continuación es largo y requiere el esfuerzo por parte del lector de ser pensado, entendido y asimilado.

No encontré una forma más sencilla de explicarlo.

Física de materiales: la ley del muelle

La física de materiales es una rama que estudia las propiedades mecánicas de los materiales, como son su dureza, resistencia, su comportamiento ante fuerzas externas ejercidas sobre ellos, y cómo estos materiales pierden esas mismas propiedades.

Un material es un conjunto de átomos dispuestos de forma ordenada (la mayoría de las veces). Los átomos se colocan en las posiciones donde permanecen en un equilibrio estable, de forma que cualquier intento de cambiarlos a otro lugar requiere aportar una fuerza. Si esta fuerza no es suficiente, cuando cesa los átomos vuelven a su sitio original. Este comportamiento microscópico tiene su traducción al mundo macroscópico en variaciones de tamaño del material. Al aplicar una fuerza, éste se deforma alargándose o encogiéndose (según el sentido de la fuerza aplicada), y si no es suficiente, entonces al cesar la fuerza el material recupera su tamaño original. Es el comportamiento que todos reconocemos en un muelle, pero que es común a todos los materiales, aunque el efecto no sea tan visible.

Este tipo de comportamiento en que la fuerza deforma de manera no permanente un material, se denomina elástico. Si en cambio, la fuerza es suficiente como para hacer cambiar de posición a los átomos, entonces la deformación del material será permanente, y estamos hablando de un comportamiento plástico. Cuando un material se deforma plásticamente, en realidad está perdiendo sus propiedades originales. Se ha alejado a los átomos de sus puntos de equilibrio, y éstos buscan uno nuevo a través de la formación de dislocaciones y fracturas. El material se vuelve más frágil y débil. Si un muelle se estira demasiado, termina por deformarse y deja de ser un muelle. Un material deformado plásticamente, no recuperará sus propiedades elásticas.

Lo que determina el comportamiento elástico o plástico es la cantidad de fuerza empleada. El rango de fuerza que se puede emplear, manteniendo las propiedades elásticas de un material dado, puede depender de muchos factores. Uno es la temperatura. En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del acero a distintas temperaturas:

Obtenida del estudio de la FEMA (Federal Emergency Management Agency) “World Trade Center building performance study” (Anexo A).

En el eje y está representada la presión (fuerza por unidad de superficie) o tensión (stress) que se aplica a un material. En el eje x se representa la deformación (strain) relativa: este valor multiplicado por 100 representa el tanto por ciento que ha variado el tamaño. Para una barra de 1 metro de largo, una deformación de e=0.02 representa una variación de 2 centímetros (el 2%).

Todas las curvas se caracterizan por dos regiones: una primera que es aproximadamente una recta. Es la zona elástica, donde la deformación es proporcional a la tensión ejercida. Esta es la conocida como Ley de Hooke, que es la misma que describe el comportamiento de un muelle:

F=-kDx

donde F es la fuerza aplicada, k una constante propia del material, y Dx es la diferencia entre el tamaño original (x0), y el tamaño actual (Dx=x-x0, mientras que e se define como e=Dx/x0). El signo menos significa que la fuerza con que responde el material va en sentido contrario a la fuerza F ejercida. La Ley de Hooke es importante porque muchas situaciones físicas se pueden describir matemáticamente por expresiones similares.

La segunda es una zona más plana, que representa la zona plástica. En realidad, es una zona que indica que una vez pasado un valor límite de fuerza, se puede obtener cualquier deformación sin necesidad de hacer más fuerza, o incluso el material puede romperse. El material en esta zona ya no tiene las mismas propiedades de resistencia que antes, y cuando deje de aplicarse la tensión, el material permanecerá con esa deformación. Tal y como se ve en las curvas, la zona elástica, y la máxima fuerza que se puede ejercer sin deformar plásticamente el acero, dependen de la temperatura. Cuanto menor sea la zona elástica, y cuanto menor sea la presión máxima que se puede aplicar, entonces peor resiste el acero a una tensión dada. A 20ºC, el acero aguanta hasta 300N/mm2, pero a 600ºC, no llega a 100N/mm2, 3 veces menos.

La deformación puede ocurrir de diversas formas. La más común es la deformación axial. Si se aplica una fuerza en vertical, la deformación será igualmente en ese eje. Aunque puede ocurrir una deformación en los otros dos ejes cartesianos, que no vamos discutir aquí. Se habla de tensión compresiva cuando se está comprimiendo, y tensión expansiva cuando se está estirando

Otro tipo de deformación es debida a la cizalladura. Al igual que para la tensión axial, la tensión de cizalladura también obedece a una ley de Hooke en el rango elástico, con su propio coeficiente k, pero la deformación no se expresa como una variación del tamaño, sino del ángulo que forman los ejes. Es por ejemplo, el tipo de deformación que se hace al doblar una barra

Respuesta frente a una carga estática

Pongamos que tenemos una barra de acero a 20ºC. ¿Qué resistencia tiene? La gráfica de tensión – deformación anterior nos sirve para hacernos una idea. Si miramos la zona elástica, es una recta que alcanza un valor máximo de tensión alrededor de 300 N/mm2. Este es el valor máximo de tensión axial que puede soportar el acero, y que le hace tener una deformación de 0.0035 (0.35%). Es decir, una barra de 1 metro de largo, variaría su longitud en 3.5 milímetros. Es una deformación muy pequeña. Y para conseguirla se requiere aportar una tensión inmensa. Una tensión de 300 N/mm2 son 3e8 N/m2. La presión atmosférica es de 1e5 N/m2. Es decir, se necesita ejercer una presión 3000 veces mayor que la atmosférica para llegar al límite elástico del acero.

Y eso es mucho. Por ejemplo, la presión que se alcanza en el fondo de la fosa de las Marianas (11 km de profundidad) es de 1e8 N/m2, 1000 veces mayor que la atmosférica, pero 3 veces menor de la máxima que aguanta el acero.

No dispongo de datos para la cizalladura, pero es intuitivo ver que la resistencia a cizalladura es muchísimo menor. O al menos, que es muchísimo más fácil de conseguir la tensión necesaria para vencerla. La deformación permanente por cizalladura, lo que más comúnmente conocemos por “doblar”, se puede hacer gracias a la ley de la palanca. Una palanca nos permite levantar pesos elevados aplicando una fuerza mínima. La poca fuerza que nosotros aplicamos en el extremo largo de la palanca, se convierte en el extremo corto en una fuerza mucho mayor… en un material idealmente rígido.

En una palanca real, ésta se dobla por su punto de apoyo. Si el objeto a levantar no es muy pesado, la deformación será elástica, el material la contrarrestará haciendo una fuerza en sentido contrario, y se levantará el peso. Pero si el objeto es demasiado pesado, la fuerza hecha en el extremo largo hará que el material no responda con la suficiente fuerza contraria, se sobrepase el límite elástico, y que la barra se doble permanentemente, o que incluso se rompa.

Este es el mecanismo que se usa habitualmente para partir, cortar o romper materiales: Una tabla se coge por los extremos, y se dobla. En el centro de la tabla aparece una deformación que termina por romper.

Resistencia frente a una carga dinámica

Una barra de acero es realmente muy resistente frente a una fuerza ejercida a lo largo de uno de sus ejes, producida por ejemplo por una masa depositada en su parte superior. No lo es tanto para una deformación de cizalladura: es más fácil doblar una barra que comprimirla. Pero, ¿cómo de resistente a la compresión sería frente a una masa que cae con una velocidad dada?

Se puede hacer una pequeña prueba, que da unos resultados que no sorprenderán a nadie, pero que mirados en este contexto revelan que esa resistencia no es tan elevada como se pudiera pensar:

Las latas de refresco están hechas de aluminio y sus paredes son muy finas. Son fáciles de doblar, arrugar y romper. Y sin embargo, pueden aguantar el peso de una persona de 90 kilos. Seguro que más de uno en su juventud ha hecho la prueba.

Pero, si dejamos caer un adoquín de sólo 5 kilos (¡casi 20 veces más ligero!), desde una altura de entre 30 y 40 cm, la lata se aplasta. Algún lector estará ahora diciendo:

- Pues claro ¡Qué te esperabas!

Seguro que a nadie le extraña este resultado, pero lo que viene a demostrar es que ¡no es lo mismo soportar una masa estática, que frenar una masa en caída!

La resistencia frente a tensiones compresivas axiales en estático puede ser muy elevada. Más de un lector recordará el programa ¡Qué apostamos!, con el omnipresente Ramontxu, y la bióloga más famosa de España; y alguno incluso recuerde aquella apuesta en la que se colocó un tractor ¡sobre 4 macarrones!

Pero cuando la masa se halla en movimiento, la cosa es radicalmente distinta. Una masa en caída posee una energía cinética que una carga estática no tiene, que es proporcional a la masa, y al cuadrado de la velocidad. Cuando la masa choca, parte de esta energía es disipada por el material como deformación elástica primero, y plástica después. En este caso, la lata de refresco aguanta a una persona de 90 kg, pero ha bastado un adoquín de 5 kg con casi 20 J de energía cinética para aplastarla.

Energía necesaria para deformar por compresión el acero

Sabiendo pues que la respuesta frente a una masa en movimiento es distinta a la de una estática, hay que plantearse cual es la energía necesaria para llegar deformar plásticamente el acero que soportaba a las torres gemelas.

Partimos de la Ley de Hooke. Lo primero es determinar la constante k. Los datos que se obtienen de la primera gráfica son que el límite elástico se alcanza con una tensión de P0=3e8 N/m2, y una deformación relativa de e0=0.0035. Suponiendo que todas las columnas están intactas, la tensión de compresión se reparte entre todas ellas de forma proporcional a su superficie. Matemáticamente, es equivalente a tener una sola columna con un área total igual a la suma de todas ellas, y así vamos a tratar el problema.

Cada piso del WTC poseía 236 columnas de acero en el perímetro exterior, con una sección de 0.0184 m2 cada una. Las columnas del núcleo eran 47, con una sección de 0.1236 m2. Esto hace una superficie total de 10.15m2 sobre la que descansaba cada piso. La altura de cada piso era de 3.79 metros. Con estos datos, se puede determinar la constante k de la Ley de Hooke, que es k= 2.3e11 N/m.

Conocida la constante, se puede hallar ahora la energía que es necesaria suministrar para que las columnas se compriman un 0.35% (es decir, que alcancen el límite elástico). El resultado es U=2.02e7 J. Esto son 20 millones de Julios, un millón de veces más que el adoquín de 5 Kg del ejemplo de la lata de refresco, dejado caer desde 40 cm.

La pregunta es: ¿podrían uno o varios pisos del WTC desarrollar más de esa energía durante su caída? Si fueran capaces, entonces serían capaces de debilitar las columnas que soportan el piso inferior con el que chocan, y hacer que el colapso piso a piso sea posible.

Modelo de colapso: conservación de energía

El modelo del colapso tiene en cuenta la conservación de momento cinético. Cuando un piso choca con el inferior y lo arrastra consigo, la masa total del bloque que cae ha aumentado, y por tanto, la velocidad ha tenido que disminuir. En concreto, la velocidad tras el choque se puede expresar así:

v2=v1·n/(n+1)

siendo n el número de pisos que forman el bloque de caída, v1 la velocidad antes del choque, y v2 la velocidad después del choque.

Sin embargo, cuando miramos el balance energético (la energía antes y después del choque), resulta que la energía no se conserva. Si se conservara, la diferencia entre las situaciones antes y después sería exactamente 0, pero en cambio, se encuentra que

E1-E2=E1/(n+1)

Llamaremos a esta cantidad Q. Es una cantidad positiva, lo que quiere decir que la energía cinética del nuevo bloque surgido después del choque es menor que la del bloque antes de chocar. ¿Dónde se ha ido el resto de energía? Se emplea en deformación compresiva de los soportes para provocar el colapso.

La energía cinética E1 aumenta según avanza el colapso. Q es una pequeña fracción de E1, cuyo valor también crece a medida que avanza el colapso. Es decir, que si en el primer choque hay energía suficiente para producir el colapso, en los siguientes choques va a haber más energía disponible todavía.

Esta gráfica lo muestra claramente. Se ve que partiendo de un colapso desde el piso 93 del WTC1 (el primer bloque que cae tiene por tanto 17 pisos), la energía Q aumenta cada vez más. Q es muy pequeña comparada con E1 y E2, pero aumenta según caen los pisos. Si Q es suficiente como para hacer colapsar el piso 92, entonces también hay suficiente en los siguientes choques para hacer colapsar el piso 91, 90, 89… etc

Una vez comenzado el colapso, la única opción de frenarlo está en el primer choque. Si la energía sobrante Q es suficiente para vencer la resistencia de los soportes en el primer choque, entonces es imposible frenar el colapso.

Esto tiene su repercusión en la teoría de la demolición, porque demuestra que es innecesario llenar las torres de explosivos. Si se produce un colapso, éste es imparable, y no es necesario colocar bombas en los pisos inferiores. Es, complicar lo sencillo.

Para este análisis también es importante el resultado, porque hace que sólo sea necesario analizar el primer choque, el del bloque que inicia la caída con el piso inferior. Analicemos pues la caída del WTC1. El bloque inicial consta de 17 pisos (el colapso empieza en el piso 93 de 110). Por lo que su masa es de 17•m, siendo m la masa media de un piso. La distancia al piso 92 es de 3.79 metros, que recorre en 0.88 s, alcanzando una velocidad v1=8.61 m/s.

La energía cinética antes del choque, que depende de la masa media m, es E1=630.1•m Julios. La energía después del choque es E2=595.1•m Julios, y por tanto, la energía sobrante Q=35•m Julios.

No he querido sustituir los valores conocidos de m y calcular directamente Q, para calcular otra cosa, que da una idea sobre la posibilidad de que ocurra el colapso: ¿Qué masa es la mínima necesaria para conseguir un colapso imparable con un bloque inicial de 17 pisos cayendo?. Esto es, calcular m tal que la energía Q coincida con la energía U=2.02e7 J, la mínima necesaria para alcanzar el límite elástico del acero.

Este valor es de sólo 577 toneladas. (11) Si todos los pisos tuvieran una masa mínima de 577 toneladas, sería suficiente para que la torre norte empezara un colapso desde el piso 93. Si fuera menor, entonces las columnas lo hubieran frenado.

La masa media de cada piso del WTC era de 4600 toneladas, 8 veces más, lo que quiere decir que en el primer colapso, el bloque de 17 pisos tenía 8 veces más energía que la necesaria para sobrepasar el límite elástico de las columnas de acero.

La resistencia del acero se sobrepasaba con creces por la energía cinética del bloque en caída. El colapso era inevitable.

Se puede calcular otro dato interesante: si el bloque inicial hubiera sido de un sólo piso, ¿qué masa debería tener éste para producir el colapso?. Esta masa es de 1000 toneladas, más de 4 veces menos que el peso promedio real. Es decir, la caída de un sólo piso también hubiera producido un colapso imparable.

Modelos y realidad

Los modelos tratan de describir esquemáticamente una realidad. No tratan de describirla “al detalle”, sino que se asumen simplificaciones por varios motivos:

El primero es por una mayor simplicidad de cálculos, porque es simplemente imposible tener en cuenta hasta el más mínimo detalle por la complejidad de los cálculos; el segundo, porque muchas veces los detalles no aportan diferencias significativas. El objetivo de un modelo puede ser obtener una respuesta aproximada, y para eso no hace falta modelar hasta el más mínimo detalle. En todo caso, algunos se pueden incluir a posteriori para refinar el resultado, lo que puede tener sentido si la observación tiene un margen de error pequeño, y la primera estimación no resuelve el problema.

Otro motivo para simplificar un modelo es que puede servir para hacer un modelo más exigente que la realidad, por lo que si el modelo exigente predice un colapso, una realidad menos exigente colapsará con toda seguridad.

Sin embargo, estas simplificaciones no son caprichosas, y hay que justificarlas adecuadamente. Si las justificaciones son correctas, y si la estimación coincide con la observación dentro del margen de error, se puede considerar al modelo una descripción veraz de la realidad, por muy esquemática o simple que parezca: no importa, porque lo principal sí está tenido en cuenta.

En el modelo del colapso piso a piso, se asumen las siguientes:

- Los pisos que caen arrastran a los siguientes, teniendo en cuenta la conservación de momento cinético. Esto supone que la resistencia de las columnas de sujeción es despreciable, y no van a detener el colapso. Se ha justificado que una vez iniciado el colapso, es imposible detenerlo por el aumento de energía cinética. También se ha justificado que el primer choque contiene 8 veces más energía que la necesaria para vencer la resistencia a la compresión de las columnas en el WTC1. En el WTC2, el bloque que inicia la caída es aún mayor, y dispone por tanto una energía también mayor para hacer colapsar la estructura. Existe sin embargo, otra justificación para despreciar la resistencia de las columnas, que veremos más adelante.

- Hemos supuesto que todas las columnas fallan al mismo tiempo, considerando una única columna. Si consideramos columnas separadas, en las que la tensión se reparte proporcionalmente a su área, la resistencia de cada una de ellas individualmente es menor. La rotura de alguna de ellas produce que a las demás se las exija de pronto aguantar más carga de la prevista, facilitando aún más su ruptura.

- La caída se hace totalmente en vertical, produciendo única y exclusivamente fuerzas compresivas. Esto no es cierto, porque en cuanto haya una caída no vertical, la fuerza se descompondrá en dos partes: tensiones puramente verticales, y tensiones puramente horizontales donde aparecerán tensiones de cizalladura, que ya hemos discutido son más fáciles de producir para conseguir deformaciones plásticas. Esta simplificación está introduciendo una exigencia en el modelo mayor que en la realidad, ya que el fallo por compresión es el que exige una mayor inversión de energía.

Las simplificaciones del modelo están justificadas. Si el modelo predice que el edificio puede caer sólo por los fallos provocados por tensión compresiva de cargas dinámicas, un edificio real que está sometido a tensiones compresivas y de cizalladura de esas mismas cargas dinámicas también se va a caer.

La estructura real del WTC

Hemos visto que una estructura resiste mejor cargas estáticas, que masas que caen. Y además, que es más sencillo producir deformaciones de cizalladura (“doblar”) que deformaciones por compresión (“aplastar”).

Otra suposición implícita en el modelo del colapso es que los pisos del WTC estaban asentados sobre las columnas, y que éstos además son idealmente rígidos, es decir, que son indeformables, de forma que al caer producen tensión compresiva sobre las columnas en que están asentados. La única justificación de esta simplificación es poder asumir que toda la tensión la van a recibir las columnas, y así calcular su efecto sobre ellas. Sin embargo, los pisos en realidad no estaban asentados sobre las columnas, sino colgando de ellas (tanto de las paredes exteriores como del núcleo). Es otra simplificación que hace al modelo más exigente que la realidad.

¿Qué supone este diseño? Que las tensiones que tienen que soportar las columnas no son verticales, sino que tienen componentes de cizalladura.

El piso tiende a caer por gravedad. Su peso se reparte entre los apoyos en las columnas exteriores de la pared, y las interiores del núcleo. Al no estar apoyado sobre la base de éstas, sino en salientes o anclajes, el piso tira de las columnas hacia el interior. En principio, es una estructura en que los pisos sujetan las columnas que los sujeta. Digamos que pisos y columnas se sostienen mutuamente.

El error conspiranoico está en simplificar demasiado, y suponer que la única forma posible que tiene de colapsar el edificio es a través de aplastar las columnas que soportan a los pisos, porque éstos son indeformables. Pero una estructura es tan resistente como lo es su punto más débil. Cuando cae la masa de escombros, no lo hace sobre las columnas, sino sobre el piso de debajo. El piso trata de hundirse, apareciendo deformaciones de cizalladura en él, y éste a su vez tira de las columnas hacia dentro. La fuerza total que sienten las columnas se descompone en dos partes: una parte vertical, que produce la tensión compresiva pura, y otra horizontal, que provoca una tensión de cizalladura.

De forma que hay varias posibilidades para que la estructura ceda y colapse

Primero, la tensión de cizalladura en las columnas, debido a que el piso que se hunde tira de ellas hacia dentro, sumado a la tensión de compresión hace que la estructura pueda finalmente doblar las columnas, y ser engullidas hacia dentro.

Otra forma de rotura se puede dar en el suelo del piso, deformado por la presión que hacen los escombros al caer. La tensión puede terminar por romper el piso (compuesto de acero y hormigón), sin necesidad de doblar, aplastar o romper las columnas. Es, la otra razón mencionada por la que se puede despreciar la resistencia de las columnas: porque no son las columnas las que ceden.

En este último caso, varios tramos de columnas permanecerían relativamente intactas en pie, aunque inestables (como lo estaría un lápiz fino y largo colocado en vertical) sin la sujeción que daban los pisos. Y de hecho, en los videos se ven partes de la pared exterior y de las columnas interiores que aguantan en pie varios segundos después del derrumbe, mostrando que este tipo de rotura ocurrió.

Terminamos al fin

Hemos visto cómo se puede modelar la dinámica del colapso de las torres gemelas usando ecuaciones conocidas de física general. Para poder realizar cálculos, es necesario realizar simplificaciones, las cuales están perfectamente justificadas en base a la física de materiales.

La resistencia de las columnas tiene una gran dependencia con la temperatura. La resistencia a 600ºC (temperatura estimada del incendio tras el choque de los aviones) es 3 veces menor que la del acero a 20ºC. Los aviones que impactaron eliminaron varias columnas exteriores, y posiblemente dañaran las interiores, haciendo que las fuerzas para soportar la masa de los pisos tuviera que repartirse entre el resto de las columnas intactas. La más que probable no homogeneidad en el nuevo reparto de fuerzas y tensiones (tanto de compresión, como de cizalladura), junto con el debilitamiento por temperatura de la resistencia de las columnas, y soportes de los pisos, son una causa muy plausible del inicio del colapso.

No se puede descartar que hubiera algún derrumbamiento interno de uno o varios pisos, dejando a las columnas en pie, pero con peor sustento (las columnas sujetan a los pisos, y los pisos a las columnas). En ese caso, el derrumbe interior de los pisos podría haber empezado apenas uno o dos segundos antes de que se observara a la estructura exterior hundirse en las imágenes, y podría justificar alguna afirmación conspiranoica de que se oyeron explosiones (en realidad, colapsos) justo antes de la caída.

Una vez iniciado el colapso, la física predice que era imposible de parar, incluso si es un sólo piso el que lo inicia, y en el caso más exigente, que es suponer sólo tensiones verticales de compresión de las columnas. La estructura real es mucho menos exigente que el modelo, y la rotura de la estructura no tiene por qué darse únicamente en las columnas, como presuponen los conspiranoicos, sino también en los propios pisos. Si en el caso más exigente se predice un colapso, en la estructura real, el colapso está asegurado. El uso de explosivos para “ayudar” a la caída, aparte de injustificado, resulta ser innecesario.

A falta de otras evidencias, que después de varios años siguen sin aparecer, hay que concluir que las torres gemelas se desplomaron por el debilitamiento de la estructura como efecto de un incendio provocado por el choque de sendos aviones.

WTC: ¿Demolición o colapso?

2008-03-13T12:38:00.024+01:00

Los teóricos de la conspiración son gente que no acepta ni el más mínimo detalle de las versiones oficiales. Se duda de que un avión impactara en el pentágono, se duda de que los aviones fueran realmente secuestrados, y por dudar, se duda hasta de que el daño producido por los choques de los aviones en la torres gemelas (en adelante, WTC1 y WTC2 para las torres norte y sur respectivamente) se derrumbaran a consecuencia del incendio tras el impacto.

En los videos de los derrumbes aparentemente se aprecia cómo las torres caen en vertical. Aparentemente, porque hay mucho polvo tapando la zona que se está derrumbando. Esto da pie a los conspiranoicos para asegurar que las torres fueron demolidas controladamente. Sin embargo, el daño que se produjo alrededor, que devastó prácticamente todo el complejo del World Trade Center, atestigua que para ser controlada, la cosa se descontroló bastante. De hecho, se ve al inicio del derrumbamiento del WTC2, cómo el bloque superior se inclina hacia un lado antes de hundirse en la torre.

Y en el caso del WTC1, hay imágenes de las paredes laterales que aguantaron en pie unos segundos tras el derrumbe. Un control un poco raro de la demolición. ¿Qué pruebas tienen para mantener tan extraordinaria información? Uno de los argumentos es que las WTC cayeron en “caída libre”.

Es decir, si dejamos caer un objeto desde el piso 110 del WTC, éste tarda en caer 9.2 segundos. Si lo que cae es el propio piso 110, ese mismo tiempo es el que tardará en llegar al suelo. Sin embargo, en su camino debe encontrarse con el piso 109, luego el 108, etc… Los choques con estos pisos le restarían velocidad, y por tanto tardaría más en llegar al suelo. Por tanto, para una “demolición controlada” que haga caer todos los pisos del WTC en una “caída libre”, se hace necesario explotar cargas en momentos de tiempo exactos para evitar que los pisos que caen choquen con los pisos inferiores que empiezan a caer, y tienen una velocidad menor. Algo al respecto hemos discutido por el foro de 'Misterios de Todo a Cien'

La versión oficial, en cambio, sostiene que el colapso se produjo piso a piso. Es decir, un piso (o más correctamente, un bloque de pisos) comienza a caer, y se acelera en caída libre hasta llegar al piso inferior. En ese momento, se frena un poco, pero la inercia hace que ese piso colapse, y se añada a la masa que está cayendo, retardando el momento de tocar suelo.

Estos dos modelos de caída de las WTC se pueden simular usando física “del instituto”: sólo se necesita saber la fórmula de la caída libre, y en el caso del colapso, además la de conservación de momento cinético. Eso hemos hecho, y resumido en el siguiente vídeo, donde se simula el derrumbamiento del WTC1, que cayó a partir del piso 93, y se compara con lo que se observó en las cámaras aquel día.

Lo que se observa en las simulaciones es que el modelo de “caída libre” pone al edificio en movimiento de forma muy rápida. Es necesario que exploten las cargas de forma muy rápida en los pisos más altos, porque tienen mayor altura que recorrer. El resultado es que a los 2 segundos del inicio de la caída, tendría que haber explotado ya el piso 55, y todos los anteriores. Y el piso 1 explotaría a los 7 segundos y pico. Algo que claramente no se observa en las imágenes. Igual que tampoco se apreciaría (cómo sí se ve en los videos) que el bloque superior (los pisos 110 a 93 que comienzan la caída) se hunde en la torre antes de seguir la caída. Este hundimiento del bloque superior, en cambio, sí se aprecia en la simulación del colapso, porque es debido precisamente a que está cayendo, mientras los pisos inferiores están quietos hasta que chocan. Visualmente, el modelo del colapso es más parecido a la realidad. Otra cosa que se aprecia en las imágenes es cómo hay escombros que en caen por los laterales: estos escombros caen antes de que los pisos inferiores estén en movimiento, como se hubiera visto en la "caída libre" La caída libre tarda 7 segundos en poner toda la torre en movimiento. Y 9.2 s hasta que el piso 110 llega al suelo. El modelo del colapso, en cambio, tarda 11.38 s en hacer que el piso 93 toque el suelo, y 12 en total para que el 110 llegue al final. Estos tiempos son más largos (pero no tanto como alguien podría pensar en un inicio) como cabría esperar del modelo del colapso.

Pero, ¿cuánto tardó el WTC1 en caer exactamente? según la comisión oficial del 11-S, el WTC2 cayó en 10 segundos. Según el NIST, el WTC1 tardó 11 segundos, y el WTC2 9. Existen también registros sísmicos de las caídas. Estos datos dan 8 y 10 segundos para el WTC2 y WTC1 respectivamente, los tiempos que duran las señales. Sin embargo, estos últimos datos hay que tomarlos con mucha cautela, porque hay que saber interpretarlos. Los datos sísmicos registran las vibraciones del suelo. La amplitud de estas oscilaciones depende de qué ha hecho temblar la tierra:

- Tenemos el movimiento de las torres mientras se derrumban, que se transmite al suelo. Eso depende la capacidad de la WTC para transmitir las vibraciones, que puede o no ser suficiente para la sensibilidad de los instrumentos.

- El impacto de una gran masa de escombros en el suelo.

- Recolocación de los escombros en huecos dejados en el apilamiento de los restos ya caídos.

- Tiempo que tardan en desaparecer la ondas

Eso como poco. Es un análisis complejo. 8 segundos es más rápido que una caída libre, y por tanto, un valor irreal para la caída.

Entonces, ¿cuánto tardó el caer el WTC?. Es muy difícil de saber, porque una polvareda oculta toda la escena. Además, está el apilamiento de escombros. Una estimación, a la vista de las imágenes, puede ser entre 10 y 15 segundos. Es muy difícil ser más preciso. En cualquier, son valores ligeramente superiores a la caída libre, y dentro de los valores de un colapso como el supuesto.

Otras personas, miden tiempos de hasta 15 y 22 segundos para WTC2 y WTC1 respectivamente:

Hay que tener en cuenta que los modelos presentados de caída no son válidos para los momentos finales: no tienen en cuenta la apilación de escombros. Son incluso, muy simplificados (que al fin y al cabo, para eso sirven los modelos: para describir de la forma más simple posible, y a la vez más veraz la realidad):

- Suponen que todas las plantas tienen igual masa, y ésta se concentra en un plano muy estrecho(infinitesimalmente estrecho)

- Cada planta cae entera y a la vez, no hay soportes, u otras cosas que hagan caer sólo media planta, o que hagan que una parte de la planta se retrase respecto de otra.

- La caída es totalmente vertical, y no se va a desviar hacia un lado.

Así que los tiempos sólo se pueden considerar a modo orientativo, o estimativo. Mi impresión personal y subjetiva, es que el derrumbamiento real es más lento que el modelo del colapso. Pero la simulación creo que sí deja claro que la diferencia entre un colapso, y una “demolición controlada” en “caída libre” es lo suficientemente grande como para decir que el colapso se acerca más a la realidad

Demolición controlada por colapso piso a piso

Este modelo del colapso es el mismo que ya han estudiado otras personas. Por ejemplo, aquí un escéptico lo hace[.pdf], y obtiene mis mismos resultados. También hay teóricos de la conspiración que se molestan en hacer las mismas cuentas, y obtienen el mismo resultado.

Es evidente que las cuentas están bien hechas. Pero este conspiranoico no cree en la “caída libre”, sino que cree que las columnas son suficientemente resistentes como para detener 17 pisos en caída. Así que la demolición consiste en que justo en el momento en que los pisos chocan con el inferior, una explosión elimina el soporte que dan las columnas, produciendo así el colapso.

El modelo del colapso no tiene en cuenta qué hace al piso inferior ceder para seguir colapsando, por lo que no da solución a si el colapso es natural porque las columnas no resisten lo que se le viene encima, o si hubo alguna 'ayudita' externa. El trabajo enlazado del escéptico entra posteriormente en esas consideraciones para determinar que una vez iniciado el colapso, no hay forma de pararlo.

Y nosotros lo haremos próximamente, por lo que les sugiero que se mentalicen para en la próxima entrada ver algunos chorizos matemáticos (y así también me doy tiempo para intentar que sean los menos y más claritos posibles)

Actualización(25/03/08): En la siguiente entrada se argumenta por qué las columnas no resistieron ante lo que se les venía encima: WTC: Física para un colapso